有限元中單元節點和積分點的差別

學過數值積分的應該知道，有限元中的積分點指高斯積分點，因為這些點的收斂性好，精度高。

1. 節點

    在單元内，采用形函數來表述單元内變量的分布規律。而節點值是在節點處的對應實體量。

以簡單矩形單元的溫度為例：四個節點i,j,m,n的溫度分别為Ti,Tj,Tm,Tn.

則以單元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别為四個節點，單元内溫度分布為：

T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}

其中，Si=1/4(1-x)(1-y)，Sj=1/4(1+x)(1-y)] ，Sm=1/4(1+x)(1+y)，Sn=1/4(1-x)(1+y)

(單元的形函數我們可以從手冊中查到)

進而我們知道了溫度在單元内的分布。

2. 積分點

    我們需要對溫度在單元内的面積上進行積分時，因為節點的溫度顯然與x,y無關，我們隻需要考慮對形函數積分。采用Gauss_Legendre多項式計算積分時，我們隻需要計算根據特定積分點的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手冊，這些點也叫高斯點、積分點）并加以權重就可以。這就把複雜的積分問題變成了簡單的代數問題。因為形函數隻與單元有關，是以積分點也隻與單元形狀有關。

    應力一般采用多個積分點的互相插值或外延來計算節點應力。這隻是為了減少誤差。因為在積分點應力比節點具有更高階的誤差。

    從理論上說，形函數已知後，用Maple或者Mathematic等軟體進行符号積分的話，是可以精确計算出剛度矩陣和品質矩陣，但是這樣做的話，對于工程實際應用來說并不合适。

原因：1，費時；2，Mindlin中厚闆有剪力鎖死問題，有時候需要采用縮聚積分），是以有些書上會把2節點梁單元的剛度陣直接寫出來，但是再複雜點的單元，就使用數值積分（Newton-Cotes積分和高斯積分）

牛頓-科斯的積分點就是節點，這樣得到的品質矩陣是集中品質陣形式

個人了解：

1.節點作用：構造形函數，節點的多少描述規則形狀單元内的應力的近似分布情況，并擷取節點上的位移值

2.積分點作用：構造規則形狀單元與曲邊（曲面）單元的轉化的變換函數，積分點的選取多少和選取的位置直接關系到這種“映射”的精确程度，剛度矩陣、邊界條件的轉化都用到了坐标變換的積分關系，一般取高斯積分點能使被積函數計算精度盡量高。對于newton-cote積分點的選取，這種“映射”看起來，節點和積分點是同一個位置或說是同一點，而對于高斯積分點位置與節點是不同的。

故有如下結果：

 1.由于高斯積分點的這種變換比較高，在方程求解結束，傳回積分點上的應力解比較準确。

 2.至于Mindlin中厚闆有剪力鎖死問題，采用縮聚積分，也是應為這種坐标的變換關系（可見《有限單元法基本原理和數值方法p345頁10.4.11式可知），力的邊界條件隻有剪切，采用縮聚積分可以較大降低剪切力的影響，但是也可能引起剛度矩陣的奇異，是以對于中厚闆的積分點選取不同一般的方案。

1.ANSYS手冊(Chapter 13)上列出各種單元的積分點位置。

2.王瑁成的《有限單元法》第五章，有解釋為什麼積分點應力更加精确。

3.因為積分點應力更精确，是以我們一般采用積分點的應力内插或外延确定節點應力。特殊情況除外。

單元節點和積分點是不同的兩個概念！

積分點是在進行函數積分的時候，為了增加精度，選取的積分點，也就是高斯積分

單元節點是你選取單元的時候就已經定下的點。

一定有單元節點，但不一定有積分點