Abstract：
（最近一段時間看Lie代數，結合之前學過的泛函 、以及傅裡葉變換，突然對函數有一種特殊的了解。）
本文先提出函數
向量了解的觀點（用
元組的方式來表示），再帶入到其他理論中 中做一些闡述，最終以
傅裡葉變換為例實作其基本功能。（附上
python代碼以及相應
結果）
目錄
- 函數到向量
- 在其他理論中的了解
- 傅裡葉變換的實作
函數到向量
說起來函數，很多人都有相應的了解，例如
1、正比例函數
正比例函數
2、一次函數
一次函數
3、二次函數
二次函數
當然，後面還有相應的指數函數(
)，對數函數(
)，正弦函數(
)等等。
對于其
描述（我說的是描述，不是性質），可以有以下三個要素：
- 運算法則
- 定義域
- 值域
那和向量有什麼關系呢？
再說說
向量。
一般對向量了解：就是帶有
大小和方向的有向線段。
(2,3)
根據其相關性質，可以定義一個向量空間：域F上的一個模。
即，定義了加法和乘法 有一下8條成立（經過前人對大量事物的歸納總結得到）
- α+β=β+α，對任意α，β∈V.
- α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.
- 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.
- 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.
- 對P中機關元1，有1α=α(α∈V).
- 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
- 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
- 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
對于這種抽象的定義，“向量”除了能夠表示一些實體量（力、速度）其實可以表示（不限于）：
- 空間向量（ 或
c++ 提取傅裡葉描述子_聊一聊【向量】視角下的函數（例子：傅裡葉變換） ） c++ 提取傅裡葉描述子_聊一聊【向量】視角下的函數（例子：傅裡葉變換） - 矩陣（ ）
c++ 提取傅裡葉描述子_聊一聊【向量】視角下的函數（例子：傅裡葉變換） - 多項式（ ）
c++ 提取傅裡葉描述子_聊一聊【向量】視角下的函數（例子：傅裡葉變換） - 函數（即本文重點）
先說說，函數怎麼樣被向量所
具體描述的？
從有限開始，定義一個函數
要知道，該函數是定義在定義域為
的函數空間中，如果定義域中多（少）一個數（
）抑或是換一個數（
）都不再是
原來的向量空間了。
那麼，上述函數用元組（序偶）來表示，可記為向量
在該空間的另一個函數
就可以寫作
定義域的
元素越多，則向量的
次元越大。
這樣，就很好了解無窮維向量：
譬如将定義域放在自然數（{0}并上正整數）/整數/有理數上，就可以将上面的函數
記作（自然數下），
如果是整數的話，可以寫成
有理數（我隻寫非負有理數的吧）
由于實數不可列，隻能是說借助一個名額集
，對于該集合的
，假想那麼一個向量的位置，它是第
位的。
或者，若想将其“
列出來”，需要借助
極限的定義。将其在不可列的空間中商去一個
任意小的範圍，使之能夠“
近似”列舉出來。如封面的圖
是以，向量的次元取決與分割的粒度了。（如果也想要個無窮維的，可以将分割粒度設定為
兩個相鄰有理數間距的一半。）
帶入其他理論中的了解
（此處會涉及一些數學高年級課程的内容）
上一節主要說了關于函數向量化的了解，那麼這裡就将這種了解帶入一些理論中進行簡單地闡述。由于本人時間有限，也就挑幾個比較重要的内容去講述。
數學分析（微積分）數學分析主要講的是實函數上的内容，是以從較高的觀點上來看，有以下主要内容：
- 極限
- 微分（求導）
- 積分
- 多元部分
當然，對于非專業的，還會有微分方程。
1、
對于極限實際上就是上面說的，一種近似表示。這個近似展現在什麼地方呢？就是：
對于未知的事物能否用已知來代替，且使意外可以忽略。
這個代替，就是定義中，
中的
；而那個“意外可以忽略”，就是定義中一大坨的
。
這樣，也能了解所謂區間開閉要做什麼的吧（将的得不到的轉變成已擁有的）~
衆所周知，（以下加斜體字皆為
私貨，請
酌情閱讀）
吾生也有涯，而知也無涯 。以有涯随無涯，殆已！——《莊子.内篇.養生主其三》
相比于
莊子的想法，可以保身，可以全生，可以養親，可以盡年，的這種“向内求穩”想法（既然未知無窮，那就停止思考，看着眼前也能過得挺好），能夠看出
Weierstrass給出了一個“向外求穩”的方法（雖然未知無窮，但是讓我停止思考是不可能的，這輩子都不會不思考的！！！隻不過面對無窮，我隻會放棄思考那些等價于“有窮”的無窮罷了）。也可見中西方人文上的差異。當然對于想知道為什麼會這樣的人，可以上bilibili上看看（
北京大學）
吳國盛 所講的 《科學史》。2、
微分實際上，這就相當于，調取一個一維數組中的一個數與下一各數的差，進而轉變成一個
維的向量。（這也就可以解釋為啥一些微分的定理，都是說“
閉區間連續，開區間可導”的原因了吧，畢竟導完之後，閉區間就“
縮”了一小段了~）
同樣，也能看出，微分是對函數——這個向量一個子空間的“
線性表示”。（可以将高等代數中的
特征方程與數學分析中的
微分定義互相對比一下，你會有所發現的~）
于是乎，求導就是求特征方程的“
”。
不定積分就是求那個“
特征向量”。
3、
（定）積分積分呢，顧名思義，有了“積”（不是太美的那個ji），就能聯想到“内積”。對一個函數
做積分，就相當于将
一個向量與一個1向量做内積（1向量是向量上所有分量全部為1）。兩個函數相乘做積分，就是
兩個向量做内積啦~
進而，對于積分的一些性質，可以用高等代數中的正交空間來了解。（或者中積分）
對于級數來說，其實就是可以看做是離散化的積分。也是無窮維向量内積。不過，向量的角度也就隻能闡述一下數項級數。對于函數項級數，可以那
矩陣*向量來看待。
4、
多元部分西方人在了解自然時（科學），都有這麼一個習慣性思維：
先研究好最基本、最完美的事物，然後再用它來表示現實中複雜的東西。
對于多元函數也不例外。所謂n維空間的東西，就是将其看做n條直線（1維空間）來了解的。
陸藝：微分幾何随記（六）淺談外微分形式zhuanlan.zhihu.com
那麼相比于一階張量的向量來說，二進制函數不就再向外擴張一階——
矩陣嗎，以此類推擴張下去。
（對這方面了解僅限于定義，相關例題做的少，是以就不多說了。。。）
在說完數分後，後面的理論我就挑幾個重點來說了。
實變函數我個人對此了解比較多的是
可測函數部分，對于積分這塊也就會證明幾道例題，算不上了解，是以就說兩句關于可測的了解。
按可測定義來看，就是要外側度滿足Caratheodry（卡拉西奧多裡）條件
（
為任意集合，
則為可測集）
而可測函數，就是：函數像在任意區間上的原像全部為可測集。
因為實變函數畢竟要研究實數軸上的，是以說需要引用一個
名額集 來表示向量的每一個分量
。
對于可測函數，就相當于，随便找一個實數
，從向量中找出那些分量大于
的位置
，并将其打成包，然後看這個包是否滿足可測定義。
即
measure_set
看該集合是否為可測集（python 文法）
在積分上，與黎曼積分的明顯
差異在于：黎曼積分用
把函數按段分到了向量的每個分量中；而lebesgue是按像來做劃分的（對此處了解不是很深刻，可能會有疑義）。
泛函分析在泛函分析中，就是在研究無窮維空間的東西了。在這個無窮維中，會有可數的
，或者不可數
，還有可以用“方向”來定義“大小”的（把前面那兩個p=2就行），也有不能的。
在一般向量空間中，所有的“函數”都隻是一般意義上的函數，沒有一個标準來衡量“函數”直接的差别。比如給你兩幅畫，如果都能用
個像素表示，那麼他們就都是
，如何判斷它們倆之間的差别？
圖1，本人畫的，不存在侵權~~~
圖2
有句話說，公說公有理，婆說婆有理。
這個理，往往是一種度量。如果說，一個向量空間中，有了距離（它講道理了~）的概念，那麼，他就是
距離空間。如果這個空間有了“原點”（有準了），就是
賦範空間。如果Cauchy列收斂（靠譜了——就好比畫畫，畫了一堆線條，越畫越像就是
收斂）就成了
Banach空間。當然，如果該度量能夠通過
内積來衡量不同方向的函數（就好比各種各樣的畫派，像什麼印象派、抽象派，還有什麼黃派、徐派等等，通過一種衡量方式，可以進行跨派别的評審），那就是
内積空間。如果說，内積定義的範數Cauchy收斂（就是上述背景中，那種評審方式
很靠譜了），那就是Hilbert空間。Hilbert空間有很多完美性質。
還有一句古話講，無規矩不成方圓。
通過前面講述能夠發現，很多都是已經有的對象（向量），之是以有各種各樣的空間，是因為他們所遵循的規矩不一樣。
回到數學中來看：
對于Hilbert空間，根據表現定理，
上的泛函一定能寫成内積的形式，且泛函的範數等于該空間中的向量，那也就是說明：泛函可以看做成這個樣子
像分解定理、還有lax-milgram定理，就不多闡述了。
如果不是内積空間，則有可能
。
像泛函和算子，可以分别當做向量和矩陣。根據他們範數的定義不難發現，就是觀察泛函/算子作用在機關閉球上的最大值。在計算時，就可以看成找一個機關向量，看泛函（算子作用後的向量範數）結果最大值是有多大。
如果有界《--》連續《--》逐點連續。也就不難了解了。
傅裡葉變換的實作
實際上，在
函數——向量的了解下，傅裡葉變換就可以轉化稱為
矩陣右乘一個向量的形式了。那積分上下限的無窮怎麼了解呢？實際上，函數如果區間有窮的畫，那把剩下的部分全部置零延拓出去，或者剩下的部分當做一個“常數”（收斂），按這個常數在正規化（通過對f的整體變換，使常數部分為0）。
該程式用python編寫，需要numpy庫，
剩下不多說了，直接貼代碼了
import numpy as np
def vec_e(omega):#定義了内積向量
return np.array([np.cos(omega),np.sin(omega)]).T
def fourier(fun,x,t,):#指定頻域中頻率的傅裡葉變換
'''fun is a n-dim vectors
interval is 2-tuple show the end points of the interval
t is frequency'''
d = len(fun)
result = np.array(fun).dot(vec_e(-np.linspace(x[0],x[-1],d)*t ) )
return (result*(x[-1]-x[0]))/(2*d)
def Fourier(fun,x,img_x,p,appr=3):#一段頻率，這裡用str是為了将資料輸出到excel畫圖用。
return [ str(np.linalg.norm(np.around(fourier(fun,x,p*i),appr))) for i in range(img_x[0],img_x[1])]
完整的測試代碼：
import numpy as np
def vec_e(omega):#定義了内積向量
return np.array([np.cos(omega),np.sin(omega)]).T
def fourier(fun,x,t,):#指定頻域中頻率的傅裡葉變換
'''fun is a n-dim vectors
interval is 2-tuple show the end points of the interval
t is frequency'''
d = len(fun)
result = np.array(fun).dot(vec_e(-np.linspace(x[0],x[-1],d)*t ) )
return (result*(x[-1]-x[0]))/(2*d)
def Fourier(fun,x,img_x,p,appr=3):#一段頻率，這裡用str是為了将資料輸出到excel畫圖用。
return [ str(np.linalg.norm(np.around(fourier(fun,x,p*i),appr))) for i in range(img_x[0],img_x[1])]
if __name__=='__main__':
#測試的sinx+2*sin3.2x
x = np.linspace(-4*np.pi ,4*np.pi,10000)
y = np.sin(x)+2*np.sin(3.2*x)
r = Fourier(y,x,[0,5000],0.002)
with open('abc.csv','w') as file:
for i in range(len(r)):
file.write(str(i*0.002)+','+r[i]+'n')
結果，如圖
從圖中能夠看出，頻率在1，和3.2的位置有特别明顯的欺負，且波峰長度為1:2。
（關于x軸上為何這麼多起起伏伏呢？如果把f的定義域調大點，起伏就少了。不過，這應該是一些技術性的問題了。）
關于一些代數、幾何層面上的含義我并沒有說的很細，主要還是說了如何将函數用向量的角度去了解的東西。
畢竟學識有限，有問題之處不吝賜教~