三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換系列學習（4)----實體意義

前面3章花了比較大的精力從純數學的角度證明了一系列公式。今天講一下他們的實體意義。

實體意義上的傅裡葉變換把時域信号變換到了頻域；逆變換則是完成從頻域重構時域信号。

時域信号的概念比較容易了解，我們在示波器上看到的正弦波、餘弦波、三角波、方波等等，都是時域信号，跟随時間變化的信号，都是時域信号。頻域是個什麼東西呢，說起來比較抽象。拿鋼琴做個比方，我百度了一下琴鍵的頻率，抽取了幾個。

對照上面的表格，縱向的頻率是等差關系，構成了我們熟悉的do, #do(b re)，re, #re(b mi),mi,fa,#fa(b so),so,#so(b la),la,#la(b si),si ；橫向的頻率是倍數關系，也就是相對的八度音階。對于像我這種不懂樂譜的理工男來說，看到的是蝌蚪文，再對比上面的表格，我看到了頻率，和頻率的倍數。拿第一行來說，如果27.5Hz是基頻，那麼後面的55Hz，110Hz，220Hz，440Hz，880Hz，1760Hz，3520Hz都是以2的幂次倍頻上去的；基波的倍數也可以稱之為諧波，2倍就是2次諧波，3倍就是3次諧波。好了，稍微扯得有點遠了一些，隻是希望大家對頻率有點感性的了解。

事實上，頻率這個東西确實是比較抽象的，以至于學習了傅裡葉變換之後，我都不敢輕言頻率兩個字。為什麼呢，真是複雜。對于正弦波信号或者是餘弦波信号，我們可以簡單的說，這個周期信号的頻率是多少多少，比如一個50Hz的正弦波，我們從波形上看，它就是50Hz，即便是做了傅裡葉級數分解，它還是隻有一個分量，50Hz的正弦波。

對于一般的周期信号（周期為

)，從傅裡葉級數可知，該周期信号的頻率由基頻

，以及諧波組成（

，n=2,3,4,5...個數跟信号源有關）。

問題來了，如果是非周期信号呢？有一種了解方法是：當我們讨論頻率的時候，總是把信号當成是周期信号，周期信号在時間軸上是無限長的；既然是非周期信号，又怎麼變成周期信号呢，解決辦法是把非周期信号做周期延拓。（好繞啊），數學上的處理辦法是以某個周期不斷的重複原先非周期信号，這樣得到的信号就是周期信号。周期信号都可以由基波和諧波構成的，OK。 但是問題又有了，對于同一個非周期信号，如果采用不同的周期進行延拓，那麼基波頻率是不一樣的，這也可以嗎？答案是可以。那麼結論就是對于非周期信号，進行周期延拓然後傅裡葉級數的基頻不是一個固定值，而是依賴于延拓周期。

是以，嚴格意義上，在談論頻率的時候，通常考慮的是周期信号，即便是非周期信号，也先定義延拓周期，在此基礎上讨論頻率才有意義。

中間再插入一下我引入新知識的原則。回想當年剛參加工作的時候，每個禮拜需要寫周報。某次我的周報寫的是：讀晶片手冊，已經看到第50頁。這個周報交上去以後，我的上司不開心了：這個晶片手冊全英文的，有1000多頁，按照你目前的進度，一個月能讀完？讀完以後就可以寫代碼了？能趕上項目進度？我一下子懵了，然後問正确的姿勢應該是怎樣的。上司巴拉巴拉一通，我真的是醍醐灌頂。原來，正确的方法應該是：先對晶片手冊有個大概的了解，然後根據需要，對相應的部分深入了解。這才是做工程做項目的正确方法。再回到我引用新知識的原則，我不會一下子把整個線性代數或者是微積分都理一遍，然後再來講傅裡葉，我是把講傅裡葉當成一個項目來做，這樣的話，需要的知識就引用（最小引用的原則）；隻有在需要的時候才引用（最晚引用的原則）。這樣的話，為了講明白傅裡葉，我需要花的時間最少，大家閱讀需要的時間也最少。另外，我也真心的把這個方法推薦給大家，特别是在做項目的時候。

好了，我們再拉回來。

有了時間和頻率的概念，那麼我們就可以從時域和頻域兩個方面來進一步分辨各種傅裡葉變換的特性。

先拿最簡單的傅裡葉三角級數舉例。

，不用進行内積計算，我知道這個函數進行傅裡葉三角級數展開的時候，隻有基

的系數是5，基

的系數是5其他所有基的系數都是0. 實體意義就

可以由兩組諧波

和

建構，幅度分别是5和6。複雜一點，就是最經典的，用無數個正弦波或者餘弦波構造方波的案例（可以在知乎搜尋傅裡葉變換之掐死教程）。對于用正弦波或者餘弦波構造方波的案例，求解各個基的系數，其實就是求解各個基的幅度。反過來，我們知道了諧波及其幅度，一樣可以建構出原函數

.

是以，傅裡葉變換的實體意義很明顯了，正變換就是求出不同頻譜的幅度；反變換就是根據頻譜及頻譜的幅度求出原信号。

對于FS的基

或者是FT的基

，DTFT的基

，DFS/DFT的基

（不熟悉這些基的，可以回到系列（1），系列（2）和系列（3）複習一下），這些複數基看上去難以了解（暫時先放一下，但是引入了複信号，我們在數學分析上确實友善利索了好多，對吧。事實上，學過通信原理的通信知道，使用

或者

信号調制的時候，産生雙邊帶調制，而用

調制的，産生單邊帶，頻譜節約了一半），也都是表示頻域的，同樣我們也認為，求解傅裡葉正變換的時候，各個基的系數，就是各個頻點的幅值。反過來，有了頻點和幅值，我們就能算出原信号，這就是反傅裡葉變換。

再上一個圖

沒有寫DFT和FFT，因為DFT就是DFS取變換後的一個周期，而FFT本質上隻是算法快速。把這些公式寫在一起的時候（我們用方括号[]表示數組，用圓括号（）表示函數），我們可以看到幾個特點：

1. 再次提醒，正變換的時候，是做内積，複數的内積是取共轭；逆變換是用基求原信号，不要取共轭，上表一目了然。
2. FS和DFS，即級數在時域都是周期的，相應的在頻域都是離散的。觀察得到，周期信号在頻域都是離散的。（特例是DFT，因為DFT雖然處理非周期離散信号，但是處理過程中做了周期延拓，實踐上是當成了周期信号，是以頻域也是離散的）
3. FT和DTFT，時域上的非周期信号，相應的頻域都是連續的。
4. 從圖上，我們也能看到，離散信号的頻譜都是周期的，連續信号的頻譜都是非周期的，這一點我會在後面的傅裡葉變換的一些特性中繼續介紹

下一章，為了進一步闡述，我要引入新的知識了，

函數和卷積。