三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 在上一部分當中，得到了利用三角函數表示周期函數的方法，但是對于非周期函數就...涼了。是以有什麼辦法嗎？沒辦法（劃掉）。這時候我們就需要拿出來我們的黑科技——傅裡葉變換。
一、傅裡葉級數的推廣
當然這東西肯定不是憑空腦補出來的，而是将傅裡葉級數進一步推廣到非周期函數上。現在已經得到了周期函數的情況，一種很自然的想法就是将非周期函數化歸到周期函數上，那麼就可以繼續套用傅裡葉級數了。
如果要強行描述非周期函數的周期性，那它的周期就應該是無窮大，整個定義域都在它的一個周期内，以至于它不可能再重複這一周期。
把這個想法用形式化的語言表示出來，就是
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 的周期
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。因為
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，那麼
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。接下來觀察一下此時的傅裡葉級數
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。不大容易觀(xuan)察(xue)，三角形式有點複雜，不如采用指數形式
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
當
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 時，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 從原本的離散變化變成了連續變化，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 也就可以表示為關于
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 的函數
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
傅裡葉級數中
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，事實上，這個積分的上下限不一定是
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 到
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，隻需要積
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 的一個周期就可以了。
換句話說，對于任意的
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，系數可以表示為
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
這個積分需要積一整個周期，而此時的周期為無窮大，也就是整個定義域上都需要積，是以要從
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 積到
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
隻需要讓上式中的
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，便可以得到
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 的表達式。不妨令
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，就得到了
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
因為
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，是以
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ？當然不是，右側的積分可能為無窮大，無窮小與無窮大的積不一定為無窮小。（如果等于零的話豈不是很有毒）
但是這對無窮大和無窮小的階并不好比較，我們得不出
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 究竟應該等于什麼值。既然
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 這麼煩，那不如把它從這裡面丢出去，之後用到
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 的時候再乘回來就好了，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
現在有了傅裡葉級數對應的系數，該搞一搞
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 這個式子了。把對應的系數
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 代進去，再代入
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，變形後有
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 因為
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，每次
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 的增量
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 都是由于
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 變為
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 造成的，是以
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
同時
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 連續變化，原本的離散意義下的求和就該變為連續意義下的積分，搞出來
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
至此便推導出了傅裡葉變換的兩個公式
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 上式稱為傅裡葉變換，下式稱為傅裡葉逆變換。
還有另一個版本的傅裡葉變換是
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 這兩個版本都差不多，不過就是
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 這個系數的處理方法不大一樣。mathematica上采用的是第二個版本的傅裡葉變換，之前算了半天都跟自己手算的不一樣，還以為自己算錯了（溜
二、傅裡葉變換的條件
由于傅裡葉變換是從傅裡葉級數推導得來的，是以還是狄利克雷條件，不過此時還要加上第三條，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 在一個周期内絕對可積。
這一個條件在
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 為周期函數時，可以由前兩個條件推出來，因為周期和函數值均為有限值，是以在一個周期内一定絕對可積。但是推廣到傅裡葉變換後，這個推導就不成立了，需要單獨判定第三個條件。
三、性質
以下均預設
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 表示可以進行傅裡葉變換的函數，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 函數的卷積
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 1、線性性質：
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ,
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 2、尺度變化：
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 3、對稱性：
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 4、時移性：
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 5、頻移性：
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 6、時域卷積定理：
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 7、頻域卷積定理：
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 8、微分運算：
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 這些運算性質都是在采取第一種形式的傅裡葉變換下的性質，如果使用第二種形式，會在某些性質上帶來常數因子上的差别。
前面的7種運算性質的證明用積分的性質，再做點變量代換亂搞搞就可以了。這裡主要說下微分運算性質的證明，用分部積分。隻用證一階導的情況就可以了，證出來之後使用數學歸納法可以很容易地推廣到任意階導數的情況。
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 微分運算的性質使得傅裡葉變換能夠将複雜的微分運算轉化為簡單的乘法運算，是以這個性質的常見應用在于解微分方程。通過傅裡葉變換使微分方程變為代數方程，解出代數方程後再利用傅裡葉逆變換求出原微分方程的解。
舉個栗子，解實體上的簡諧振動方程，除了常用的特征根法，還能夠使用傅裡葉變換
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 令
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，方程兩邊同時傅裡葉變換
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 定義
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
使得
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 。
解出
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 為常數
進行逆變換
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 使用輔助角公式合并
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ,
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 為常數
傅裡葉變換在微分方程上的應用不局限于此，還能夠應用于偏微分方程。但是最常用的并不是傅裡葉變換，而是它的一般形式拉普拉斯變換
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 四、廣義傅裡葉變換
在實際問題當中，經常會遇到一些函數并不滿足絕對可積的條件，因而它們對應的傅裡葉變換積分發散，并不存在傅裡葉變換。但是我們又需要它們的傅裡葉變換，是以就有了廣義上的傅裡葉變換。
比如剛剛求的簡諧振動方程，對應的代數方程解出來後，發現
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 是發散的，此時我們通過定義了一個新函數
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 解決了發散的問題。暫時無視掉函數發散的問題，帶着無窮大繼續運算，最後逆變換時再作處理，這便是廣義傅裡葉變換的核心思想。
考慮正餘弦函數，它們嚴格意義上的傅裡葉變換都是不存在的，但是可以表示為
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 五、幾何意義
傅裡葉變換的幾何意義類似傅裡葉級數，當
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 時，所有的三角函數
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 ，
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 (
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 )兩兩正交。換句話說，所有的三角函數都作為基向量，将
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 向它們投影。
實際上，無論是傅裡葉級數還是傅裡葉變換，都是在無窮維的希爾伯特空間中，将函數定義為空間中的向量，通過三角函數這樣一組基向量表示空間中的任意函數。
六、實體意義
emm這一部分跟數學和oi的關系都不是特别大，就大概簡略的寫一下了，詳細的介紹在網上也有很多資料，詳細寫的話怕是能再寫這麼長一篇文章（我懶）。
傅裡葉級數将函數分解到離散的頻率之上，而傅裡葉變換将函數分解到連續的頻域中，這樣使原本頻域上離散的點變成一條連續的曲線，對應的就是
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 的圖像。
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 描述的是
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 在
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 這個頻率分量上的大小。
基于這樣的實體意義，傅裡葉變換在實際問題當中得到大量應用。比如說最常見的是音樂軟體上那個瘋狂抖動的條，我也不知道這東西叫啥，反正就是下面這個圖裡進度條上面的那一坨。這個東西實際上是把現在正在播放的音頻進行傅裡葉變換，畫出的頻域圖。
三角波的傅裡葉變換對_傅裡葉變換（二） 從傅裡葉級數到傅裡葉變換 還有一種應用是視訊以及圖檔的防僞和防盜版鑒别當中。将畫面進行二維傅裡葉變換，疊加高頻分量，再進行逆變換即可。高頻分量帶來的差異很小，肉眼難以分辨，而且難以通過簡單的截圖和p圖操作消除高頻分量，因而是一種十分有效的“水印”。
除此以外，音視訊的壓縮也可以采用傅裡葉變換，隻保留強度較高的頻率，去除較弱的頻率，減少存儲的資料量。
