向量的點積

點積或點乘(Dot Product)

設向量a(x1,y1)，向量b(x2,y2)，二者的夾角θ，二者點乘的結果 d。

将兩個向量的每個分量對應相乘，然後将乘積結果相加，得出的結果，即：

d = x1*x2 + y1*y2;

向量的點選運算的結果是一個标量。

幾何意義：

d > 0, θ < 90，點積值d大于0，夾角θ小于90度；

d < 0, θ > 90，點積值d小于0，夾角θ大于90度；

d = 0, θ = 90，點積值d等于0，夾角θ等于90度。

可以通過兩個向量的點積來判斷兩個向量之間的夾角情況:

cosθ = dot(a,b)

推導cosθ = dot(a,b)

首先從三角形餘弦定理的推導開始，為後面的推導做基礎準備。

設三角形的三個頂點:

A(ax,ay,az)，B(bx,by,bz)，C(cx,cy,cz)

設向量:

AC(cx-ax,cy-ay,cz-az)

AB(bx-ax,by-ay,bz-az)

BC(cx-bx,cy-by,cz-bz)

設三角形ABC:

角α是向量AB,AC的夾角

角β是向量BC,BA的夾角

角γ是向量CA,CB的夾角

三角形的三條邊分别為: a,b,c(即三條向量的模長|AC|=b,|AB|=c,|BC|=a)

在c上做高 d，這條高d将c邊一分為二，設高d與邊c的交點為D，則:

cos(α)=|AD|/|AC|;

cos(β)=|BD|/|BC|;

由于

c = |AD|+|BD|

|AD|=cos(α)*|AC|=cos(α)*b

|BD|=cos(β)*|BC|=cos(β)*a

是以

c =cos(β)*a+cos(α)*b；

将等式兩邊均乘以c，得到：

c^2 = ac*cos(β)+bc*cos(α)(1)

以上同樣步驟，可以得到：

a^2 = ac*cos(β)+ab*cos(γ)

b^2 = bc*cos(α)+ab*cos(γ)

将上面兩式相加，得到：

a^2 + b^2 = ac*cos(β) + ab*cos(γ) + bc*cos(α) + ab*cos(γ)

= [ ac*cos(β) + bc*cos(α)]+[ab*cos(γ) + ab*cos(γ)]

結合(1)，推導出：

a^2 + b^2 = c^2 + 2ab*cos(γ)

c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cos(γ)

同理，可以推導出:

a^2 = b^2 + c^2 -2bc*cos(α)(2)

b^2 = a^2 + c^2 -2ac*cos(β)

在三角形中ABC中，向量AB的模長是c；向量AC的模長是b；向量BC的模長是a。

|AB| = c

|AC| = b

|BC| = a

注：向量的模長：向量的每個分量的平方和再開方，即：

|BC| = sqrt[(cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by)+(cz-bz)*(cz-bz)] 

則:

|BC|^2 =(cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by)+(cz-bz)*(cz-bz)

由此推導出：

a^2 = |BC|^2 = BC*BC(3)

因為向量:

BC = AC-AB(4)

是以:

|BC|^2 = (AC-AB)*(AC-AB)

|BC|^2 = AC*AC+AB*AB-2*AB*AC

|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2*AB*AC(5)

結合上面的推導(3):

(2) = (5)

即:

|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2*|AB|*|AC|*cos(α)

得:

|AB|*|AC|*cos(α) = (|AC|^2 +|AB|^2 - |BC|^2)/2

由(4)代入，得:

|AB*|AC|*cos(α) = (|AC|^2+|AB|^2-|(AC-AB)|^2)/2

将向量AC(cx-ax,cy-ay,cz-az)，AB(bx-ax,by-ay,bz-az)，BC(cx-bx,cy-by,cz-bz)代入:

|AB*|AC|*cos(α) ={(cx-ax)^2+(cy-ay)^2+(cz-az)^2+(bx-ax)^2+(by-ay)^2+(bz-az)^2 - 

[((cx-ax)-(bx-ax))^2+((cy-ay)-(by-ay))^2+((cz-az)-(bz-az))^2]}/2

合并去括号:

|AB|*|AC|*cos(α) =(cx-ax)(bx-ax)+(cy-ay)(by-ay)+(cz-az)(bz-az)

 =(cx-ax,cy-ay,cz-az) * (bx-ax,by-ay,bz-az)

即:

|AB|*|AC|*cos(α) =AC * AB

cos(α) = AC * AB / |AB|*|AC|

向量AB，AC經過标準化後，模長為1，|AB|*|AC| = 1*1 =1,則:

cos(α) = AC*AB/1 = AC*AB;

推導出:

cos(α) =AC*AB;

另一種推導方法：

假設a和b都是二維向量，θ1是a與x軸的夾角，θ2是b與x軸的夾角，向量a與b的夾角θ等于θ1 - θ2.、

a*b = ax*bx + ay*by 

=(|a|*sinθ1)*(|b|*sinθ2) +(|a|*cosθ1)*(|b|*cosθ2)

=|a||b|(sinθ1*sinθ2+cosθ1*cosθ2)

=|a||b|(cos(θ1-θ2))

=|a||b|cosθ

cosθ = a*b/|a||b|

标準化之後的向量a,b的摸|a|、|b|均為1:

cosθ = a*b

注：|a||b|(sinθ1*sinθ2+cosθ1*cosθ2)=|a||b|(cos(θ1-θ2))，這個推導過程參見兩角和差公式：