一、點乘（内積）
有向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) ， b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2) a
=(x1,y1)，b
=(x2,y2)，夾角為 θ \theta θ，内積為：
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2 a
⋅b
=∣a
∣∣b
∣cosθ=x1x2+y1y2
幾何意義：
-
夾角，由 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta a
⋅b
=∣a
∣∣b
∣cosθ 知，當内積 > 0 >0 >0， θ < 9 0 ∘ \theta<90^\circ θ<90∘，内積 < 0 <0 <0， θ > 9 0 ∘ \theta>90^\circ θ>90∘，内積 = 0 =0 =0， θ = 9 0 ∘ \theta=90^\circ θ=90∘。同時也可以計算 θ \theta θ 的值： θ = a r c c o s a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} θ=arccos∣a
∣∣b
∣a
⋅b
-
投影， ∣ a ⃗ ∣ cos θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ |\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|} ∣a
∣cosθ=∣b
∣a
⋅b
表示 a ⃗ \vec a a
在 b ⃗ \vec b b
上的投影。
對偶性： a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos θ ) = ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos θ ) \vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta) a
⋅b
=∣a
∣(∣b
∣cosθ)=∣b
∣(∣a
∣cosθ)
∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos θ ) |\vec a|(|\vec b|\cos\theta) ∣a
∣(∣b
∣cosθ) 的了解是 a ⃗ \vec a a
的長度與 b ⃗ \vec b b
在 a ⃗ \vec a a
上的投影的乘積；
∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos θ ) |\vec b|(|\vec a|\cos\theta) ∣b
∣(∣a
∣cosθ) 的了解是 b ⃗ \vec b b
的長度與 a ⃗ \vec a a
在 b ⃗ \vec b b
上的投影的乘積；
而這兩個是相等的。
二、叉乘（外積）
上面的公式，就是求三階行列式。
幾何意義：
-
上面如果不把 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec i,\vec j,\vec k i
,j
,k
的具體指帶入公式，而是寫成 a ⃗ × b ⃗ = m i ⃗ + n j ⃗ + l k ⃗ \vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k a
×b
=mi
+nj
+lk
的形式，向量 ( m , n , l ) (m,n,l) (m,n,l) 就是一個同時垂直 a ⃗ \vec a a
和 b ⃗ \vec b b
的向量，如下圖：
向量的内積外積與其幾何意義 -
對于二維向量， a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) ， b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2) a
=(x1,y1)，b
=(x2,y2)，按照上面的公式得：
a ⃗ × b ⃗ = ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ = x 1 y 2 − x 2 y 1 \vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1 a
×b
=∣∣∣∣x1x2y1y2∣∣∣∣=x1y2−x2y1，設這個數值為 m m m。
則， ∣ m ∣ = ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ |m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta ∣m∣=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ （ θ \theta θ為 a ⃗ \vec a a
和 b ⃗ \vec b b
的夾角）
且，|m| = a ⃗ \vec a a
和 b ⃗ \vec b b
構成的平行四邊形的面積 ，如下圖：
向量的内積外積與其幾何意義 -
判斷向量的相對位置（順逆時針）
a ⃗ \vec a a
和 b ⃗ \vec b b
如圖所示：
如果讓 a ⃗ \vec a a
以最小角度轉到 b ⃗ \vec b b
的方向，是順時針還是逆時針呢，從圖中很容易看出，但怎麼用數字判斷呢？
仍然是 m = a ⃗ × b ⃗ = x 1 y 2 − x 2 y 1 m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1 m=a
×b
=x1y2−x2y1，
當 m > 0 m>0 m>0， a ⃗ \vec a a
逆時針轉到 b ⃗ \vec b b
的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180∘，
當 m < 0 m<0 m<0， a ⃗ \vec a a
逆時針轉到 b ⃗ \vec b b
的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180∘，
當 m = 0 m=0 m=0， a ⃗ \vec a a
和 b ⃗ \vec b b
共線。
直覺記憶如下圖：
m > 0 m>0 m>0， b ⃗ \vec b b
在藍色部分；
m < 0 m<0 m<0， b ⃗ \vec b b
在紅色部分；
m = 0 m=0 m=0， b ⃗ \vec b b
在分界線上（與 a ⃗ \vec a a
共線 ）。
三、擴充（坐标系引發的順逆指針分不清事件）
我們平時預設的坐标系是這樣的：
但有時候的坐标系是這樣的（比如數字圖像中）：
可以發現，同樣的 a ⃗ = ( 2 , 1 ) \vec a=(2,1) a
=(2,1) 轉到 b ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec b=(1,2) b
=(1,2) ，在上面的坐标系中就是逆時針，而在下面的坐标系中就是順時針，是以為了統一說明，定義了 “正旋轉” ：從 x x x 軸旋轉到 y y y 軸的方向。
是以，上面利用向量叉乘判斷向量相對位置的性質描述應該為：
當 m > 0 m>0 m>0， a ⃗ \vec a a
正旋轉到 b ⃗ \vec b b
的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180∘，
當 m < 0 m<0 m<0， a ⃗ \vec a a
正旋轉到 b ⃗ \vec b b
的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180∘，
當 m = 0 m=0 m=0， a ⃗ \vec a a
和 b ⃗ \vec b b
共線。
而那張直覺記憶圖隻在我們平時預設的坐标系中才成立。