傅里叶变换
Fourier transform
1 傅里叶变化基本知识
1.1 一维连续Fourier变换
对函数
f(x)
进行傅里叶变换得到
F(u)
逆变换：从
F(u)
到
f(x)
进行反傅里叶变换
一维连续函数
f(x)
的傅立叶变换
F(u)
一般是虚数，可用复数形式表示为：
定义
幅值
为：
定义
相位
为：
用
幅值
和
相位
表示傅立叶变换
能量谱
(或功率谱)
现在可以来复习一下
傅里叶变换
hui gu yi xia:
当然了，在信号与系统里面学到的最有用的应该就是
sampling
采样了，在离散傅里叶变换里面真的太重要了：对于连续函数，就假如说是三角函数
sin(x)
，当以
∆𝑡
时间(
∆𝑡
越小越好)为间隔采样该函数，会得到
sin(x)
的一堆离散值，对该系列离散值做傅里叶变换，在频域上采样后的频谱相当于原函数频谱的频移，最后用滤波器滤掉就可以得到连续函数的频谱，在通过反傅里叶变换得到原连续函数。
1.2 一维离散Fourier变换
正变换：(DFT)
逆变换：(IDFT)
变换示意图如下：
将频率部分取出：
1.3 二维连续Fourier变换
正变换：
逆变换：
1.4 二维离散Fourier变换
正变换：
逆变换：
幅度 (频谱)：
相位角/谱：
功率谱/能量谱
2 MATLAB示例
2.1 正变换和反变换
RESULT:
2.2 傅里叶变换的幅度谱和相位谱
RESULT:
2.3 傅里叶变换性质：平移性质
空域坐标移动，频域只发生相位变化，幅值不变。同时频域坐标移动，空域中只发生相变，幅值不变。
RESULT:
2.4 傅里叶变换性质：旋转不变性
如果图像本身在空间域上旋转，则其二维离散傅里叶变换在频率域上也会旋转，而且旋转的角度相同。
RESULT:
2.5 傅里叶变换性质：比例性
比例发生变化，不会影响频谱分布规律。
RESULT:
2.6 傅里叶变换性质：周期性和共轭对称性
2.7 傅里叶变换性质：统计特性(平均值)
2.8 傅里叶变换性质：可分离性
固定y方向，x方向每一行进行一维DFT；固定x方向，y方向每一列进行一维DFT。
即: 一个2D-DFT可用二次1D-DFT来实现。(上面的公式可以左右移动)
2.9 傅里叶变换性质：卷积/相关性
即: 空间域的卷积运算对应频率域的乘积运算；频率域的卷积运算对应空间域的乘积运算。