1. 特征函数
随机过程常见表示方式:${X(t); t \in T}$,有四个特征函数,见下表。
特征函数 | 表达式 | 理解 |
---|---|---|
均值函数 | $\mu_X(t) = E[X(t)]$ | 相当于随机变量的均值,知当t确定时$X(t)$是一个随机变量,也就可以求期望,当t不同时,对应的期望也会随t的变动而变动,所以称之为函数。 |
方差函数 | $Var[X(t)] = E[(X(t)-\mu(t))]^2$ | 理解方式同均值函数 |
相关函数 | $R(t_1, t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]]$ | 同一个随机过程两个时刻随机变量乘积的期望 |
协方差函数 | $\gamma(t_1, t_2)=E{[X(t_1)-\mu(t_1)][X(t_2)-\mu(t_2)]} = R(t_1, t_2)-\mu(t_1)\mu(t_2)$ | 表示同一个随机过程两个随机变量的相关性大小,可以转换为相关函数的表达式 |
- 例题
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由题意可知,A服从正太分布,B服从均匀分布,直接带入对应的特征函数公式即可,要注意
2
处的t的条件范围,
4
处方差和均值之间的转换以及
5
处相关函数和协方差函数的转换。
2. 宽平稳W.S.S(弱平稳过程)
平稳即随着时间的变化却保持不变, 不同的统计性质会有不一样的平稳。
考察随机过程是否为宽平稳从以下角度进行:二阶矩存在(方差和期望存在),均值函数为常数:
- 实例1
振幅调制过程:$X(t) = A(t)cos(2\pi f_0t+\theta)$,其中振幅调制函数A(t)是随机的,相位调制函数中的θ在(0, 2$\pi$)上均匀分布,二者相互独立($\theta$和$t$无关),判断其是否为宽平稳。
-
通过一阶矩考察条件一是否满足
$E(X) = E(A(t))E(cos(2\pi f_0t+\theta)) = E(A(t) = \int_0^{2\pi}frac{1}{2\pi}cos(2\pi f_0t+\theta))d\theta =0$
-
通过二阶矩(相关性$R_X(t, s)$)考察满足条件二
$R_X(t, s) = E(A(t)A(s))E(cos(2\pi f_0t+\theta)(cos(2\pi f_0s+\theta))$
(上一步到下一步运用的是
积化和差
)
$= E(A(t)A(s))\frac{1}{2}(E(cos(2\pi f_0(t+s)+2\theta) + E(cos(2\pi f_0(t-s))$
(巧妙的转化出了$2\theta$,即最终$cos(2\pi f_0(t+s)+2\theta)$一定为0)
$= \frac{1}{2}E(A(t)A(s))cos(2\pi f_0(t-s))$
(所以最终落脚点在于$E(A(t)A(s))$是否为宽平稳,如果是,则可以推出下式)
$=\frac{1}{2}R_A(t-s)cos(2\pi f_0(t-s))$(完毕)
而由宽平稳局部具有的特性可以推出(决定)整体,简言之,部分区间连续则整体连续,部分区间呈现周期性,则整体呈现周期性。
- 实例2
1
是因为处由于s和t时刻随机变量不相关。
- 实例3
3. 独立增量过程,平稳增量过程
1
: 这里要求时间段不交叉,示意图如下:
2
: 对相同长度的时间段h均有相同的分布,对时间段是否交叉没有限制。
- 举例