作為一個工科的學生,我們長期以來會使用比如像是矩陣以及行列式這些線上性代數上的知識,在這篇文章中,我想來聊一聊這些問題,即什麼是面積,以及什麼是面積的高緯度的推廣.
對于什麼是面積,大家可能首先就會想到我們生活中常用的長*寬麼？真的是這樣麼,其實在這裡我們所談論的面積,其實是歐幾裡得空間幾何面積的基本的機關:平行四邊形的面積.關于平行四邊形的面積的定義,幾何上所說的就是相鄰兩邊邊長乘以他們之間的夾角的正弦.
但是當我們面對到一些更一般的情形和更高次元的數理問題的時候,我們就有必要把這個面積的定義推廣開來.首先我們應當要注意的是.面積是作為一個标量,他是來自于相鄰的兩個邊的兩個矢量相乘的結果,是以來時,我們需要把面積看作為一種映射的關系.
這裡的v可以看做一個适量,v*v代表的是兩個适量的有序對,那麼f自然而然就是所求的面積.
現在我們将來證明這個映射是一個線性的映射,請坐穩扶好:
現在我們舉一個最簡單的例子,現在我們假設第一個矢量是(1.0),第二個矢量是(0,1),也就是說兩個矢量分别是x軸和y軸上的機關為正的機關向量,那麼由這兩個矢量構成的四邊形,這個四邊形其實就是一個正方形,根據面積的定義,其實就是*寬=1*1=1
是以我們可以得到:
現在假設把第一個矢量縮放a倍,這個四邊形的面積也會變為相對應的a倍,這樣的面積也将會變為原來的a倍,把第二個矢量縮放為b倍,這樣的面積也會變為原來的b倍,如果這個時候我們同時對兩個向量縮放為ab倍,這樣的話面積也會變為原來的ab倍,這說明,面積的映射對于其他的兩個操作數的矢量的标量積是呈現出各自線性的,如下:
其實在實際的情況下,面積的映射對于其操作數(矢量)的矢量加法也是線性的.因為矢量加法的操作本身就是一個線性的,那麼他的面積的映射其實也就是一個線性的映射.現在我想通過幾個例子,來解釋下映射加法線性的一些後果.
兩個共線矢量所張成的平行四邊形是一條線,是以來說這個面積是0.現在假設面積映射是關于一個适量加法的線性映射,那麼我們有以下的結果
其實這裡其實用到了一個理論:
也就是說,在交換互相垂直操作數适量的順序後,面積的映射變成一個負值.到底是正還是負取決于你認為的定義.一般情況下,我們把x軸的矢量放在前邊,y軸的矢量放在後邊,從x軸到y軸張成的一個平行四邊形的面積,我們把這個符号一般看作為正号.
在三維空間中,我們一般是利用的右手定則進行實驗.如果以x軸的正方形為頭部,y軸的正方向為尾部.右手定則告訴我,紙面方向向外的方向是面積的正方向.如果反過來,紙面向内的方向就是該面積的正方向.與所規定的正負号的方向是相反的.現在這樣來看正負号的幾何的意義就比較明顯了
現在我們假設用平面内的任意兩個矢量所張成的平行四邊形的面積,現在用公式來進行表示:
在這裡,其實我們不難看到,所謂的面積其實就是一個2*2的矩陣的行列式:
就跟下邊的圖所示的一樣:
其實我們的第一行即使我們的第一個行向量(a,b),第二行就是第二個行向量(c,d),再或者是第一列是第一個列向量(a,b)的轉秩,第二個列自然就是第二個列向量(c,d)的轉秩.當然這麼做還是取決于我們是把矢量寫成行向量還是列向量的形式表達.
在上述的推理中,我們可以很容易的發現,行列式的值是把與行列式的矢量寫成列向量的橫排還是行向量的豎排的方式是無關的.這也就是為什麼,在計算行列式的時候,行列的地位是對等的.并且我們還應當注意到,根據上述的分析,交換向量的順序,面積是負号的原因.這也就是為什麼行列式中,交換列向量或者行向量一次,就應當要取一次負号的原因.另外行列式其他的計算的性子,其實都一一反映在面積映射的線性性當中.
是以,綜上所述,行列式實際上本身就是一個關于面積的形式的推廣.其實就是在給定一組基的情況下,n個向量張成的一個n維定義的廣義四邊形的體積,其實這就是行列式本質的一個含義.
根據上邊的結論,我們其實很容易的推廣到三維體積的一個計算:
在這裡我們應該要注意到,行列式的定義,其實是每一行各取一個不同列的元素的一個乘積并且符号和所謂的逆序性有關的.什麼是逆虛性?所謂逆序性，其幾何意義就是在規定了一個正方向之後（比如從1,2,3,4,5...n這個順序定義為正号），交換任意一對數都取一次負号。這樣的性質我們在上述的面積函數中已經有所看到，實際上體積，更高次元的廣義體積，也有正方向之說，隻不過已經難以用右手法則（以及叉乘）來形象說明罷了。右手定則的局限性也是将高維面積推廣成行列式表達的一個動機之一。
對于這樣交換任意一堆名額的操作就可以改變符号的性質,其實我們就叫做反對稱性.這個時候,如果你善于思考,你會想為什麼要取不同行不同列元素的乘積.因為如果有任意兩個元素是同行同列的,那麼他們交換他們的列名額,乘積不變但是符号要相反.是以乘積必須要是0,這也就是在行列式值中不予展現的原因之一.
行列式的定義其實是比較的冗雜的,其實就是來自于廣大的面積映射的反對稱性,其實面積映射是一個2維的,把二維任意拓展到多元,我們其實就可以發現r維的形式和r*r的行列式的形式是完全一緻的.
其實在這裡,我們可以把各種次元所代表的東西來總結下,二維所代表的是平面内的面積,三維自然而然其實就是三維空間内的體積,四維其實就是四維空間内的超體積.依次類推.在上邊的推理中我們發現,這些矢量給定的基坐标寫出的矩陣必然是方陣,矩陣的行列式對應的面積或者是體積.這樣的推廣證明相信在任意一本的線性代數書中都會看到,我隻是說了人話而已.
我們知道很多定理,比如行列式為0的矩陣,不可逆,行列式不為0的矩陣,可逆,這個時候我們不禁要問,代表面積的行列式,是如何和線性變化的可逆性聯合在一起的.
這個時候我們就應該要了解線性變化的幾何意義.現在我來陳述一下:
如果我們把空間中一組線性無關的矢量都寫成列向量的形式，那麼他們所張成的n維體體積不為零，根據上面的分析，其值由行列式給出。向量經過線性變換a變換之後，得到的新向量形式如下：
注意到a是一個n*n的矩陣，向量是列向量。
變換前，n維體的體積是：
變換之後，n維體的體積是（注意到，第二個等式實際上說明了幾何意義是如何定義矩陣乘法的，也就是n*n矩陣a和另外一個n個列向量組成的n*n矩陣的乘法）：
a的行列式如果不為零，則代表這個變換後，n維體的體積不是null。又結合線性無關與體積的性質，我們可以說：
如果a的行列式不為零，那麼a可以把一組線性無關的矢量，映射成一組新的，線性無關的矢量；a是可逆的（一對一的映射，保真映射，kernel是{0}）
如果a的行列式為零，那麼a就會把一組線性無關的矢量，映射成一組線性相關的矢量
如果a的行列式為負數，那麼a将會改變原n維體體積的朝向。
從線性無關到線性相關，其中丢失了部分資訊（例如坍縮成共線或者共面），是以這個變換顯然就是不可逆的。線性是否無關和所張成n維體的體積有直接關系，這個體積值又與a的行列式有關。是以我們就建立了a的行列式與其是否可逆的幾何關系。
舉例說明，我們假設a是一個3維的矩陣。如果映射前，有一組三個線性無關的矢量，我們知道它們張成的體積不是0；經過映射後，他們對應的新矢量也能張成一個平行六面體，那麼這個平行六面體的體積就是原體積乘以a的行列式。
顯然，如果a的行列式是0，那麼變換後的新“平行六面體"的體積将不可避免的也是0。根據上文的結論，我們有：變換後的這一組新矢量線性相關。
結論：
線性變換a的行列式是否為零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一組線性無關的矢量變換成另一組保持無關性的矢量。
但是有的時候,雖然行列式a不能把空間一組數目最大的矢量線性無關,但是它能夠保證那個一組少數目的矢量讓其線性無關,這個數目矢量往往小于線性空間的次元,這個數目就叫做線性變換a的秩
比如:一個秩為2為3*3的矩陣a,因為秩小于3,那麼任何一個3維六面體經過他的變化後,體積變為0,退化一個面,但是仍然存在一個面積不為0的面,在變換以後還是一個非零面積的面
是以說所謂的一個線性變換的秩,無非就是變化後,還能保持一個非零體積的幾何形狀的最大的次元.
通過上邊了解了秩,行列式,可逆性的幾何意義,我們就能随意的構造一個線性變化的a,使得他要麼保全所有的幾何體,要麼降維成為特定次元特定結構的幾何體,壓縮成為更低次元的幾何體,是以說,可以看作為一個”降維打擊”
更高次元的推理,希望有興趣的小夥伴可以自己去證明,不明白的問題亦可以在文章下面評論.希望能夠和大家多多交流,多謝指教.
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本文作者：ai研習社