傅裡葉變換尺度變換性質_積分變換（2）——傅裡葉變換

學習階段：大學數學，積分變換。

前置知識：微積分、複變函數、傅裡葉級數。

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傅裡葉級數有其局限性。考慮将

區間上的函數

轉化為傅裡葉級數

，容易發現而該級數以

為周期，于是會出現圖1的情況：

圖1 傅裡葉級數是周期函數

是以，對于非周期函數，沒有傅裡葉級數能在

的區間上收斂到它。但是，我們可以認為非周期函數是周期無窮大的函數，試着将傅裡葉級數中的

推廣到無窮大。

1. 傅裡葉變換

1.1 推廣傅裡葉級數到無窮區間

我們首先對函數

在區間

上展開為傅裡葉級數得

考慮讓

，這樣就把

上的函數

全部納入了考慮範圍。此時

，

可視為相鄰頻率的周期函數的頻率間隔

，那麼

可視為連續變化的，記

. 那麼

如果

收斂，則

是個無窮小量。這是可以了解的，因為

描述的是在區間

上

路徑的重心，隻有分量

會造成影響。當

時，造成影響的分量也被稀釋掉了。可以想象一卷線圈，匝數非常多，即便線圈的頭和尾沒有對齊，其重心也基本是在幾何中心。

将上式

代回到傅裡葉級數中，得到

取

極限得到

上式被稱為

傅裡葉積分定理

。

1.2 傅裡葉變換

我們記

在确定

後，該函數隻與給定的頻率

有關，它描述的是

中分量

的分布密度。稱該函數為

的

頻譜密度函數

（簡稱為

連續頻譜

或

頻譜

）。

從了解上來說，視

頻率區間中的分量

頻率恒定，它的系數近似為

. 如圖2所示：

圖2 頻譜密度的含義

對任何一個函數

都可以嘗試通過這種操作變為另一個對應的函數

，是以這是一個函數的函數，稱之為（連續時間）

傅裡葉變換

（Fourier Transform, FT）或

傅氏變換

，記為

在函數變換中，稱

是

的

象函數

，稱

是

的

象原函數

。與傅裡葉級數類似，稱

為

的

振幅譜

，

為

的

相位譜

。

得到頻譜函數後，自然可以把它逆變換回去，即

稱該變換為

傅裡葉逆變換

，記為

2. 廣義傅裡葉變換

2.1 狹義傅裡葉變換的局限性

如果

是周期函數，它能完整地用傅裡葉級數表示，但它反而求不出傅裡葉變換。因為它的分量是離散分布的，求不出分布密度。

例如周期函數

，它的離散頻譜為

. 我們試着求它的傅裡葉變換：

這裡産生了兩個問題：

①在

時，廣義積分

震蕩不收斂。

這個問題比較好解決。規定它的值為

，即可與傅裡葉級數相容。

②在

時，廣義積分

發散到正無窮大。

如果我們僅僅是簡單地在

上挖去這些無窮大的點，那麼我們會無法區分

中，分量

和

的系數。如果沒有這些系數，我們将無法進行逆變換，無法通過

還原出

的原貌。

2.2 機關沖激函數

為了解決上述問題，我們引入了

機關沖激函數

，又稱

狄拉克

函數

。這是一個廣義函數，并不能由通常的數集映射來定義，必須依賴于積分。廣義函數在泛函分析中有詳細讨論，這裡隻簡單介紹一下它的直覺定義：

①對于任意

滿足

；

②滿足積分

.

顯然，

函數并不能簡單地記為

，因為這并不能展現性質②，也就無法展現

與

的差別。

函數有許多直覺的近似方法，以下舉兩例：

，這是矩形沖激函數（圖4紅線）的極限狀态。

，這是

導函數（圖4藍線）的極限狀态。

圖4 δ函數的近似

容易證明他們滿足性質②，且在極限狀态下滿足性質①。

通常，在畫函數圖像時，沖激函數用一箭頭表示，并标上它的

沖激強度

。

在

的沖激強度就是

. 圖5是一些例子：

圖5 沖激函數的圖示

函數并不是真實存在的函數，它最初是用來描述實體中的理想模型的，例如質點、點電荷這種沒有尺度的模型。關于它們的很多函數隻會在圖像上有一瞬間的脈沖，用

函數就能很好地描述。

以下給出

函數的一些性質：

①

篩選性質

：

；

②是偶函數，即

；

③

放縮/相似性

：

；

④是

機關階躍函數

的導函數。

2.3 廣義傅裡葉變換

利用

函數，我們就可以把傅裡葉級數中的離散頻譜數列也表示成傅裡葉變換得到的連續頻譜函數。涉及到

函數的傅裡葉變換，被稱為

廣義傅裡葉變換

，它能對周期函數進行傅裡葉變換。

首先，我們對

函數進行傅氏變換，得到

也就是說，

均勻地含有各種頻率分量且系數相等，稱此為

均勻頻譜

或

白色頻譜

。直覺上可以這樣了解：隻有在

時各個分量

齊心協力都為1，疊加得到無窮大；而在

時各個分量雜亂無章，平均而言就得0.

那麼常數1的傅裡葉逆變換應得到

，即

得到了一個十分重要的公式：

. 換元即可得到

，也就是說常數1的連續頻譜為

.

上述公式也可以通過離散情況的極限來直覺得出。如圖6所示，積分

的值僅在

處為

，其他情況均為

. 而頻率間隔

，是以它構成一個矩形沖激函數，矩形的面積為

. 在

時，自然得到了沖激強度為

的函數

.

圖6 δ函數的重要公式的直覺解釋

由此，在2.1節提到的函數

就可輕易求出其傅裡葉變換為

而且它還能逆變換回去：

對

的連續頻譜作圖得圖7：

圖7 e^(it)+2e^(2it)的連續頻譜

立刻可以讀出其傅裡葉級數的系數分别為1和2. 是以，連續頻譜能表示離散頻譜，離散頻譜能轉換為連續頻譜，它們是一一對應的。

附錄

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