傅裡葉變換
Fourier transform
1 傅裡葉變化基本知識
1.1 一維連續Fourier變換
對函數
f(x)
進行傅裡葉變換得到
F(u)
逆變換：從
F(u)
到
f(x)
進行反傅裡葉變換
一維連續函數
f(x)
的傅立葉變換
F(u)
一般是虛數，可用複數形式表示為：
定義
幅值
為：
定義
相位
為：
用
幅值
和
相位
表示傅立葉變換
能量譜
(或功率譜)
現在可以來複習一下
傅裡葉變換
hui gu yi xia:
當然了，在信号與系統裡面學到的最有用的應該就是
sampling
采樣了，在離散傅裡葉變換裡面真的太重要了：對于連續函數，就假如說是三角函數
sin(x)
，當以
∆𝑡
時間(
∆𝑡
越小越好)為間隔采樣該函數，會得到
sin(x)
的一堆離散值，對該系列離散值做傅裡葉變換，在頻域上采樣後的頻譜相當于原函數頻譜的頻移，最後用濾波器濾掉就可以得到連續函數的頻譜，在通過反傅裡葉變換得到原連續函數。
1.2 一維離散Fourier變換
正變換：(DFT)
逆變換：(IDFT)
變換示意圖如下：
将頻率部分取出：
1.3 二維連續Fourier變換
正變換：
逆變換：
1.4 二維離散Fourier變換
正變換：
逆變換：
幅度 (頻譜)：
相位角/譜：
功率譜/能量譜
2 MATLAB示例
2.1 正變換和反變換
RESULT:
2.2 傅裡葉變換的幅度譜和相位譜
RESULT:
2.3 傅裡葉變換性質：平移性質
空域坐标移動，頻域隻發生相位變化，幅值不變。同時頻域坐标移動，空域中隻發生相變，幅值不變。
RESULT:
2.4 傅裡葉變換性質：旋轉不變性
如果圖像本身在空間域上旋轉，則其二維離散傅裡葉變換在頻率域上也會旋轉，而且旋轉的角度相同。
RESULT:
2.5 傅裡葉變換性質：比例性
比例發生變化，不會影響頻譜分布規律。
RESULT:
2.6 傅裡葉變換性質：周期性和共轭對稱性
2.7 傅裡葉變換性質：統計特性(平均值)
2.8 傅裡葉變換性質：可分離性
固定y方向，x方向每一行進行一維DFT；固定x方向，y方向每一列進行一維DFT。
即: 一個2D-DFT可用二次1D-DFT來實作。(上面的公式可以左右移動)
2.9 傅裡葉變換性質：卷積/相關性
即: 空間域的卷積運算對應頻率域的乘積運算；頻率域的卷積運算對應空間域的乘積運算。