[PeterDLax著泛函分析習題參考解答]第7章 Hilbert 空間結果的應用

1. 對測度是 $\sigma$ 有限的情形證明 Radon-Nikodym 定理.

證明: 設 $\mu,\nu$ 均為 $\sigma$ 有限的非負測度, 則存在分割 $$\bex X=\cup_{i=1}^\infty X_i=\cup_{j=1}^\infty Y_j \eex$$ 使得 $$\bex \mu(X_i)<\infty,\quad \nu(Y_j)<\infty. \eex$$ 寫出 $$\bex X=\cup_{i,j=1}^\infty (X_i\cap Y_j), \eex$$ 則 $$\bex \mu(X_i\cap Y_j)<\infty,\quad \nu(X_i\cap Y_j)<\infty. \eex$$ 據測度有限的情形的結果, $$\bex \nu(E_{ij})=\int_{E_{ij}} g_{ij}\rd \mu,\quad \forall\ E_{ij}\subset X_i\cap Y_j. \eex$$ 于是 $$\bex \nu(E)=\int_E \sum_{i,j}g_{ij}\rd \mu,\quad\forall\ E\subset X. \eex$$

2. 驗證 $C_0^\infty(D)$ 關于上面的兩個内積都是内積空間.

證明: $$\bex \int_D \sum |f_j|^2\rd x=0 \lra f_j=0\ (\forall\ j) \lra f=\const\lra f\equiv 0.\eex$$

錯誤指出:

Page 53, (16) 式上兩行的和應該為即.