[實體學與PDEs]第2章習題8 一維定常粘性不可壓縮流體的求解

考察固定在 $y=0$ 與 $y=1$ 處兩個平闆之間的定常粘性不可壓縮流體沿 $x$ 方向的流動. 設 $p=p(x)$, 且已知 $p(0) =p_1$, $p(L)=p_2$, $p_1>p_2$. 試求該流場的速度 $u(x,y)$ 與壓力 $p(x)$ (忽略體積力).

解答: 由流體動力學方程組知 $$\beex \bea \cfrac{\p u}{\p x}=0&\ra u=u(y),\\ -\mu \cfrac{\rd^2u}{\rd y^2}+\cfrac{\rd p}{\rd x}=0&\ra \cfrac{\rd ^2p}{\rd x^2}=0\\ &\ra p=p_1+\cfrac{p_2-p_1}{L}x\quad(p(0) =p_1,p(L)=p_2)\\ &\ra \mu \cfrac{\rd ^2u}{\rd y^2}=\cfrac{p_2-p_1}{L}\\ &\ra u=\cfrac{p_2-p_1}{2\mu L}y(y-1)\quad(u(0) =u(1) =0). \eea \eeex$$