文章目錄
- 1 引言
- 2 目标定位算法
- 假設 1
- 假設 2
- 引理 1
- 證明
- 3 傳感器頻率對目标定位影響的理論研究
1 引言
2 目标定位算法
利用多個傳感器進行目标定位，能耗高、系統複雜、成本昂貴。為滿足實際中的低能耗和低成本的需求，采用單個移動傳感器對目标進行定位，提出了目标定位算法。
設目标坐标向量為
x
x
x，
∈
R
3
x \in \R^3
x∈R3，時間
t
t
t，
[
,
∞
)
t\in [0, \infty)
t∈[0,∞)，傳感器的坐标向量為
y
(
y(t)
y(t)，
y(t) \in \R^3
y(t)∈R3，傳感器與目标之間的距離為
d
(
t
)
=
∥
y
−
x
(1)
d(t) = \|y(t) - x\| \tag{1}
d(t)=∥y(t)−x∥(1)
結合實際，在有限的時間内，傳感器運動的位置、速度以及加速度有界。由此提出假設 1：
傳感器的軌迹
y
y：
R
→
\R \rightarrow \R^3
R→R3 有二次導數。存在
M
1
>
M_1 > 0
M1>0，
2
M_2 > 0
M2>0，
M_3 > 0
M3>0，
∀
\forall t \in \R
∀t∈R 使得
≤
M
,
y
˙
¨
(2)
\| y(t) \| \le M_1, ~~~~\| \dot{y}(t) \| \le M_2, ~~~~\| \ddot{y} \| \le M_3 \tag{2}
∥y(t)∥≤M1, ∥y˙(t)∥≤M2, ∥y¨∥≤M3(2)
由于傳感器與目标間的距離不能無窮大，否則無法獲得足夠距離資訊完成定位。為保證距離可測，目标運動範圍有界，速度有界，針對目标運動提出假設 2：
目标軌迹
x：
R→R3 可微分，存在
4
M_4 > 0
M4>0，
ϵ
\epsilon > 0
ϵ>0，
∀t∈R，使得
x
ϵ
(3)
\|x(t)\| \le M_4, ~~~~\| \dot{x}(t) \| \le \epsilon \tag{3}
∥x(t)∥≤M4, ∥x˙(t)∥≤ϵ(3)
假設 2 中
\epsilon
ϵ 很小，保證持續漂移的目标運動緩慢且運動範圍有界。對式（1）求導得
d
d
t
{
}
)
T
∀
∈
R
(4)
\frac{d}{dt} \{ d^2(t) \} = 2 \dot{y}(t) ^\text{T} (y(t) - x), ~~~~ \forall t \in \R \tag{4}
dtd{d2(t)}=2y˙(t)T(y(t)−x), ∀t∈R(4)
目标與傳感器間距離測量存在噪聲，為了減少誤差，采用濾波器對距離測量中的相關參數進行濾波，濾波器的參數為
α
\alpha
α，傳遞函數
F
=
s
s
+
α
F = \frac{s}{s+\alpha}
F=s+αs。對式（4）中
d
⋅
/
d^2(\cdot)/2
d2(⋅)/2，
∥
∥
\|y(\cdot)\|^2/2
∥y(⋅)∥2/2，
y(\cdot)
y(⋅) 濾波後，信号為
η
\eta(\cdot)
η(⋅)，
m
m(\cdot)
m(⋅)，
V
V(\cdot)
V(⋅)，可得
z
˙
(
t
)
=
−
a
z
+
d
η
(5)
\left\{\begin{aligned} &\dot{z}_1(t) = - a z_1(t) + \frac{1}{2} d^2(t) z_1(0) = 0 \\ &\eta(t) = \dot{z}_1(t) \end{aligned}\right. \tag{5}
⎩⎨⎧z˙1(t)=−az1(t)+21d2(t)z1(0)=0η(t)=z˙1(t)(5)
y
T
y
,
m
⋅
(6)
\left\{\begin{aligned} &\dot{z}_2(t) = - a z_2(t) + \frac{1}{2} y^\text{T}(t) y(t) \\ &z_2(0) = 0, ~~~m(\cdot) = \dot{z}_2(t) \end{aligned}\right. \tag{6}
⎩⎨⎧z˙2(t)=−az2(t)+21yT(t)y(t)z2(0)=0, m(⋅)=z˙2(t)(6)
V
(7)
\left\{\begin{aligned} &\dot{z}_3(t) = - a z_3(t) + y(t) \\ &z_3(0) = 0, ~~~V(\cdot) = \dot{z}_3(t) \end{aligned}\right. \tag{7}
{z˙3(t)=−az3(t)+y(t)z3(0)=0, V(⋅)=z˙3(t)(7)
假設 1 成立，
x\in \R^3
x∈R3 且連續，濾波參數
\alpha > 0
α>0。可得
η
⋅
≈
m
V
(8)
\eta(\cdot) \approx m(\cdot) - V^\text{T}(\cdot) x \tag{8}
η(⋅)≈m(⋅)−VT(⋅)x(8)
設
p
p
p 代表導數運算，可得
η
(
⋅
)
≈
p
p
+
α
{
d
}
y
˙
T
y
−
x
y
\eta(\cdot) \approx \frac{p}{p+\alpha} \{\frac{1}{2} d^2(\cdot) \} \approx \frac{1}{p+\alpha} \{\dot{y}^\text{T}(\cdot) (y(\cdot)-x)\} \frac{p}{p+\alpha} \{\frac{1}{2} y^\text{T}(\cdot) y(\cdot)\} - (\frac{p}{p+\alpha} \{y^\text{T}(\cdot)\}) x
η(⋅)≈p+αp{21d2(⋅)}≈p+α1{y˙T(⋅)(y(⋅)−x)}p+αp{21yT(⋅)y(⋅)}−(p+αp{yT(⋅)})x
因為
m
t
,
V
m(t) \approx \frac{p}{p+\alpha} \{\frac{1}{2} y^\text{T}(\cdot) y(\cdot) \}, ~~~~ V(t) \approx \frac{p}{p+\alpha} \{y(\cdot)\}
m(t)≈p+αp{21yT(⋅)y(⋅)}, V(t)≈p+αp{y(⋅)}
由此可得式（8）。
^
\hat{x}
x^ 是目标坐标
x 估計值，
~
\tilde{x}
x~ 為誤差，采用自适應算法估計目标的位置坐标。設自适應算法增益
γ
\gamma>0
γ>0，式（4）與式（8）存在鏡像性，由假設 1，2 和引理 1 得自适應定位算法：
x
^
γ
V
+
^
(9)
\dot{\hat{x}} = -\gamma V(t) (\eta(t) - m(t) + V^\text{T}(t) \hat{x}(t)) \tag{9}
x^˙=−γV(t)(η(t)−m(t)+VT(t)x^(t))(9)
3 傳感器頻率對目标定位影響的理論研究
![TS科普23 ES PES TS關系[圖]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)