函數概念的發展簡史

高等數學的研究對象是函數，連續函數是最重要的一類函數． 可以說， 高等數學主要就是研究連續函數的各種性質，包括導數、微分和積分等．了解函數概念的發展簡史對我們學好高等數學有極大的幫助．

函數概念随着數學的發展而發展，在發展過程中不斷地從具體到抽象、 從特殊到一般， 最終也不斷得到嚴謹化和精确化的表達． 從大的方面來說函數概念分為經典函數概念和現代函數概念， 這兩種函數概念本質上是相同的， 隻是考慮問題的出發點不同． 經典函數概念是從運動變化的觀點出發， 而近代函數概念是從集合和映射的觀點出發． 具體來說,經典函數概念又大緻分為3個階段: 早期的函數概念(幾何函數); 18世紀的函數概念(代數函數)和19世紀的函數概念(變量函數).

早期的函數概念來源于人們迫切需要了解日月星辰的運動規律,特别是,自哥白尼（Kopernik, 1473-1543）根據多年來對日、月、行星運動的觀察和推算，在1514年5月完成了《天體運作論》以後，運動就成了那個時期科學家們共同感興趣的問題. 人們開始思索：地球上下降的物體為什麼最終要垂直下落到地球上? 行星運作的軌道為什麼是橢圓的? 另外, 由于軍事上的需求, 人們需要研究炮彈抛射的路線、射程和所能達到的高度等問題. 這種從運動的研究中就導緻了函數概念的最初幾何來源．

到了17世紀, 伽俐略(Galileo，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，已經提出了函數或稱為變量關系的概念，但他當時是用文字和比例的語言來表達函數的關系,離真正提出函數的概念還相差很遠.直到1673年前後笛卡爾(Descartes，1596－1650)在研究解析幾何中，已經注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但此時也尚未意識到要提煉函數的概念.是以直到17世紀後期牛頓和萊布尼茲建立微積分時還沒有人明确給出函數的一般意義，那時函數是被當作幾何曲線來研究的.

真正明确給出函數概念的是萊布尼茲在1673年首次使用“function” （函數）表示“幂”，後來他用該詞表示曲線上點的橫坐标、縱坐标、切線長等曲線上點的有關幾何量. 由此可見，函數一詞最初的數學含義是相當模糊的，與此同時，牛頓在研究微積分的過程中，使用“流量”來表示變量間的關系.

到了18世紀, 函數概念進入到代數函數階段,當時占主導地位的觀點是，把函數了解為一個解析表達式．瑞士數學家約翰•貝努利(Johann Bernoulli，1667－1748)在1718年對萊布尼茲的函數概念從代數角度重新給出了定義：由變量x和常量用任何方式構成的量都可以稱為x的函數,這裡任何方式包括代數式子和超越式子, 這也是首次強調函數要用式子來表示．

函數符号f(x)由著名的瑞士數學家歐拉（Euler, 1707 -1783）在1724年首次提出使用. 其後, 1748年，歐拉在其《無窮分析引論》一書中把函數定義為由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達式. 這就把變量與常量以及由它們的加、減、乘、除、乘方、開方和三角、指數、對數等運算構成的式子，統稱為函數．不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍和更具有廣泛意義.

進一步, 在1755年，歐拉又給出了另一個定義：如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當後面這些變量變化時，前面這些變量也随着變化，我們把前面的變量稱為後面變量的函數.

到19世紀時,函數概念的發展已經漸漸完善,進入到變量函數階段.1821年，法國數學家柯西(Cauchy，1789－1857) 從變量角度給出了函數的定義：在某些變數間存在着一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可随着而确定時，則将最初的變數叫自變量，其他各變數就叫做函數.值得注意的是,在柯西的函數定義中，首先出現了自變量一詞，但同時他又認為對函數來說不一定要有解析表達式, 或者可以用多個解析式來表示，這顯然是一個很大的局限性.

1822年法國數學家傅裡葉(Fourier，1768——1830)發現某些函數既可以用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，進而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的争論，他把對函數的認識又推進到了一個新的層次.

　　1837年德國數學家狄利克雷(Dirichlet, 1805－1859)打破了這個局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他給出了函數概念的精确化表述：對于在某區間上的每一個x值，y都有一個或多個确定的值，那麼y叫做x的函數.這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述，特别強調和突出函數概念的本質——對應思想，使之具有更加豐富的内涵, 進而以清晰的方式被所有數學家所接受.這就是人們常說的經典函數定義.

進人20世紀以後，在德國數學家康托(Cantor，1845－1918)創立的集合論基礎上，人們對函數概念的認識又有了進一步的深化. 1930年, 美國數學家維布倫(Veblen，1880－1960)用“集合”和“對應”的概念給出了現代函數的定義，通過集合概念把函數的對應關系、定義域和值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它任何對象.