本文是Gilbert Strang的線性代數導論課程筆記。課程位址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html 第五課時：轉置-置換-向量空間R 本課時講解轉置和置換，然後講解線性代數的核心概念：向量空間。核心思想是，通過某些向量構成一個向量組成的空間。這些向量屬于R^n，構成的子空間也在R^n中。
一、置換矩陣Permutation 置換矩陣：可進行交換的矩陣，是行重新排列了的機關矩陣。 注意點： 1）機關矩陣是最基本的置換矩陣。 2）n揭一共有n!個置換矩陣。 3） 所有置換矩陣都可逆，而且逆與其轉置相等。一個置換矩陣乘以其轉置等于機關矩陣。 在進行矩陣分解時A=LU，我們假設了沒有行互換，現在我們取消這個假設，Matlab會檢查每個主元位置上是否為0，甚至對很小的接近于0的數也進行行交換（因為這些數值運算上很難處理，會影響數值的準确性）。如何處理A=LU中的行互換？對任意可逆矩陣，都有以下形式：
二、轉置Transpose、對稱矩陣Symmetric matrices 矩陣轉置中，對稱矩陣的轉置還是矩陣本身。
所有的R矩陣轉置乘以R矩陣都是對稱矩陣，為什麼？如下圖，顯然，R轉置兩次還是R
三、向量空間Vector spaces，子空間sub spaces 重點了解向量空間概念，子空間概念
向量空間：表示有很多向量，一整個空間的向量。但并不是任意向量的組合都能成為空間。必須滿足一定規則，必須能夠進行加法和數乘運算，必須能夠進行線性組合，對加法和數乘運算封閉。 把R2稱為一個平面，XY平面。可以将其考慮成所有向量的組合。 R3是所有三維實向量組成的向量空間。 R^n包含所有的n維向量，是n維向量空間。
向量空間性質（或者說需要滿足的規則）：對加法和數乘運算封閉，或者說對線性組合封閉，即所有的空間内的向量線性組合後仍在空間内。 檢驗是否是空間（向量空間或者子空間）的方法就是看是否對那些運算封閉。
子空間：滿足空間規則，但又不需包含所有向量。取某向量空間的部分空間（顯然得到的就不是向量空間了），這部分中的向量不管是加法還是數乘，結果依然在此部分空間内，這就是子空間。 R2的子空間：1）穿過原點的直線；2）原點； （特别注意，這不是零空間，隻能說零向量是R2的子空間）3）R2 R3的子空間：1）穿過原點的直線；2）穿過原點的平面；3）原點；（特别注意，這不是零空間） 4）R3
矩陣的子空間的構造： 通過列向量構造，R3中，矩陣A（舉例隻有2列）這些列的所有線性組合構成一個子空間（得到一個平面，列共線的話就是一條直線），它也叫做 列空間C(A)，C表示column意思。