【機率論】多元随機變量及其分布

文章目錄

• 多元随機變量及其分布
• • 多元随機變量及聯合分布
  • • 多元随機變量
    • 聯合分布函數
    • • 定義
      • 基本性質
    • 聯合分布列
    • • 定義
      • 基本性質
    • 聯合密度函數
    • • 定義
      • 基本性質
  • 邊際分布及随機變量的獨立性
  • • 邊際分布函數
    • 邊際分布列
    • 邊際密度函數
    • 随機變量間的獨立性
  • 條件分布及公式
  • • 條件分布
    • • 離散随機變量的條件分布
      • 連續随機變量的條件分布
      • 連續場合的全機率公式和貝葉斯公式
  • 多元随機變量函數的分布
  • • 卷積公式
    • 多元離散随機變量函數的分布
    • • 泊松分布的可加性
      • 二項分布的可加性
    • 最大值與最小值的分布
    • • 最大值分布
      • 最小值分布
    • 多元連續随機變量函數的分布
    • • 正态分布的可加性
      • 伽馬分布的可加性
    • 變量變換法

多元随機變量及其分布

多元随機變量及聯合分布

多元随機變量

如果 X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) ⋯ X n ( ω ) X_1(\omega),X_2(\omega)\cdots X_n(\omega) X1​(ω),X2​(ω)⋯Xn​(ω) 是定義在同一個樣本空間 Ω = ( ω ) \Omega=(\omega) Ω=(ω) 上的n維随機變量,則稱 ( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) ⋯ X n ( ω ) ) (X_1(\omega),X_2(\omega)\cdots X_n(\omega)) (X1​(ω),X2​(ω)⋯Xn​(ω)) 為n維随機變量.

對于不同樣本空間 Ω 1 , Ω 2 \Omega_1,\Omega_2 Ω1​,Ω2​上的随機變量，則在乘積空間 Ω 1 ∗ Ω 2 \Omega_1*\Omega_2 Ω1​∗Ω2​={ ( ω 1 , ω 2 ) : ω 1 ∈ Ω 1 , ω 2 ∈ Ω 2 (\omega_1,\omega_2):\omega_1\in\Omega_1,\omega_2\in\Omega_2 (ω1​,ω2​):ω1​∈Ω1​,ω2​∈Ω2​}及其事件域讨論.

聯合分布函數

定義

對任意的 n n n 個實數 x 1 , x 2 , ⋯   , x n , x_1,x_2,\cdots,x_n, x1​,x2​,⋯,xn​, 則 n n n 個事件{ X 1 ≤ x 1 X_1\le x_1 X1​≤x1​ } ， ， ，{ X 2 ≤ x 2 X_2\le x_2 X2​≤x2​ } ， ， ， ⋯   , \cdots, ⋯,{ X n ≤ x n X_n\le x_n Xn​≤xn​ }同時發生的機率：

F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = P ( X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , X n ≤ x n ) F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P(X_1\le x_1,X_2\le x_2,X_n\le x_n) F(x1​,x2​,⋯,xn​)=P(X1​≤x1​,X2​≤x2​,Xn​≤xn​)稱為 n n n 維随機變量 ( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) ⋯ X n ( ω ) ) (X_1(\omega),X_2(\omega)\cdots X_n(\omega)) (X1​(ω),X2​(ω)⋯Xn​(ω)) 的聯合分布函數.

基本性質

1. 單調性

   F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 分别對 x x x 或 y y y 是單調非減的.

2. 有界性

   對任意的 x x x和 y y y，有 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0\le F(x,y)\le 1 0≤F(x,y)≤1且

   F ( − ∞ , y ) = lim ⁡ x → − ∞ F ( x , y ) = 0 F(-\infty,y)=\lim\limits_{x\to-\infty}F(x,y)=0 F(−∞,y)=x→−∞lim​F(x,y)=0 F ( x , − ∞ ) = lim ⁡ y → − ∞ F ( x , y ) = 0 F(x,-\infty)=\lim\limits_{y\to-\infty}F(x,y)=0 F(x,−∞)=y→−∞lim​F(x,y)=0 F ( ∞ , ∞ ) = lim ⁡ x , y → ∞ F ( x , y ) = 1 F(\infty,\infty)=\lim\limits_{x,y\to\infty}F(x,y)=1 F(∞,∞)=x,y→∞lim​F(x,y)=1

3. 右連續性

   F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 對 x x x 和 y y y 都是右連續的，即

   F ( x + 0 , y ) = F ( x , y ) F(x+0,y)=F(x,y) F(x+0,y)=F(x,y) F ( x , y + 0 ) = F ( x , y ) F(x,y+0)=F(x,y) F(x,y+0)=F(x,y)

4. 非負性

   對任意的 a < b a<b a<b， c < d c<d c<d 有

   P ( a < X ≤ b , c < Y ≤ d ) = F ( b , d ) − F ( a , d ) − F ( b , c ) + F ( a , c ) ≥ 0 P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge0 P(a<X≤b,c<Y≤d)=F(b,d)−F(a,d)−F(b,c)+F(a,c)≥0

聯合分布列

定義

如果二維随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 隻取有限個或可列個數對 ( x , y ) (x,y) (x,y)，則稱 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 為二維離散随機變量，稱

p i j = P ( X = x i , Y = y j ) i , j = 1 , 2 , ⋯ p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j) i,j=1,2,\cdots pij​=P(X=xi​,Y=yj​)i,j=1,2,⋯為 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的聯合分布列.

基本性質

1. 非負性： p i j ≥ 0 p_{ij}\ge0 pij​≥0
2. 正則性： ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1 i=1∑∞​j=1∑∞​pij​=1

聯合密度函數

定義

如果存在二進制非負函數 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)，使得二維随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的分布函數 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 可表示為

F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y p ( u , v ) d v d u F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yp(u,v)dvdu F(x,y)=∫−∞x​∫−∞y​p(u,v)dvdu則稱 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 為二維連續随機變量，稱 p ( u , v ) p(u,v) p(u,v) 為 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的聯合密度函數.且在 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 偏導數存在的點上有

p ( x , y ) = ∂ 2 ∂ x ∂ y F ( x , y ) p(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F(x,y) p(x,y)=∂x∂y∂2​F(x,y)

基本性質

1. 非負性： p ( x , y ) ≥ 0 p(x,y)\ge0 p(x,y)≥0
2. 正則性： ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ p ( x , y ) d y d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}p(x,y)dydx=1 ∫−∞∞​∫−∞∞​p(x,y)dydx=1

邊際分布及随機變量的獨立性

邊際分布函數

如果在二維随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的聯合分布函數 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 中令 y → ∞ y\to \infty y→∞ ，由于 { Y < ∞ } \{Y<\infty\} {Y<∞} 為必然事件，可得

lim ⁡ y → ∞ F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y < ∞ ) = P ( X ≤ x ) \lim \limits_{y\to \infty}F(x,y)=P(X\le x,Y<\infty)=P(X\le x) y→∞lim​F(x,y)=P(X≤x,Y<∞)=P(X≤x)這是由 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的聯合分布函數 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 求得的 X X X 的分布函數，被稱為 X X X 的邊際分布，記作 F X ( x ) = F ( x , ∞ ) F_X(x)=F(x,\infty) FX​(x)=F(x,∞)

邊際分布列

在二維離散随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的聯合分布列 { P ( X = x i , Y = y j ) } \{P(X=x_i,Y=y_j)\} {P(X=xi​,Y=yj​)} 中，對 j j j 求和所得的分布列

∑ j = 1 ∞ P ( X = x i , Y = y j ) = P ( X = x i ) , i = 1 , 2 , ⋯ \sum\limits_{j=1}^{\infty}P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i),i=1,2,\cdots j=1∑∞​P(X=xi​,Y=yj​)=P(X=xi​),i=1,2,⋯被稱為 X X X 的邊際分布列.

邊際密度函數

如果二維連續随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的聯合密度函數為 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)，因為

F X ( x ) = F ( x , ∞ ) = ∫ − ∞ x ( ∫ − ∞ ∞ p ( u , v ) d v ) d u = ∫ − ∞ x p X ( u ) d u F_X(x)=F(x,\infty)=\int_{-\infty}^x(\int_{-\infty}^{\infty}p(u,v)dv)du=\int_{-\infty}^xp_X(u)du FX​(x)=F(x,∞)=∫−∞x​(∫−∞∞​p(u,v)dv)du=∫−∞x​pX​(u)du則， X X X 的邊際密度函數為

p X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ p ( x , y ) d y p_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}p(x,y)dy pX​(x)=∫−∞∞​p(x,y)dy

随機變量間的獨立性

設 n n n 維随機變量 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1​,X2​,⋯,Xn​) 的聯合分布函數為 F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) F(x_1,x_2,\cdots,x_n) F(x1​,x2​,⋯,xn​)， F i ( x i ) F_i(x_i) Fi​(xi​) 為 X i X_i Xi​ 的邊際分布函數.如果對任意 n n n 個實數 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1​,x2​,⋯,xn​，有

F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ∏ i = 1 n F i ( x i ) F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^{n}F_i(x_i) F(x1​,x2​,⋯,xn​)=i=1∏n​Fi​(xi​)則稱 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​ 互相獨立.

條件分布及公式

條件分布

二維随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的條件分布，就是給定 Y Y Y 取某個值的條件下 X X X 的分布.

離散随機變量的條件分布

設二維離散随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的聯合分布列為

p i j = P ( X = x i , Y = y j ) , i , j = 1 , 2 , ⋯   . p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j), i,j=1,2,\cdots. pij​=P(X=xi​,Y=yj​),i,j=1,2,⋯.對一切使 P ( Y = y j ) = p . j = ∑ i = 1 ∞ p i j > 0 P(Y=y_j)=p_{.j}=\sum\limits_{i=1}^\infty p_{ij}>0 P(Y=yj​)=p.j​=i=1∑∞​pij​>0 的 y j y_j yj​，稱

p i ∣ j = P ( X = x i ∣ Y = y j ) = P ( X = x i , Y = y j ) P ( Y = y j ) = p i j p . j p_{i|j}=P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{.j}} pi∣j​=P(X=xi​∣Y=yj​)=P(Y=yj​)P(X=xi​,Y=yj​)​=p.j​pij​​為給定 Y = y j Y=y_j Y=yj​ 條件下 X X X 的條件分布列.

F ( x ∣ y j ) = ∑ x i ≤ x P ( X = x i ∣ Y = y j ) = ∑ x i ≤ x p i ∣ j F(x|y_j)=\sum\limits_{x_i\le x}P(X=x_i|Y=y_j)=\sum\limits_{x_i\le x}p_{i|j} F(x∣yj​)=xi​≤x∑​P(X=xi​∣Y=yj​)=xi​≤x∑​pi∣j​為給定 Y = y j Y=y_j Y=yj​ 條件下 X X X 的條件分布函數.

連續随機變量的條件分布

設二維連續随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的聯合密度函數為 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)，邊際密度函數為 p X ( x ) , p Y ( y ) . p_X(x),p_Y(y). pX​(x),pY​(y).

F ( x ∣ y ) = P ( X ≤ x ∣ Y = y ) = ∫ − ∞ x p ( u , y ) p Y ( y ) d u F(x|y)=P(X\le x|Y=y)=\int_{-\infty}^{x}\frac{p(u,y)}{p_{Y}(y)}du F(x∣y)=P(X≤x∣Y=y)=∫−∞x​pY​(y)p(u,y)​du

p ( x ∣ y ) = p ( x , y ) p Y ( y ) p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p_Y(y)} p(x∣y)=pY​(y)p(x,y)​

連續場合的全機率公式和貝葉斯公式

• 全機率公式

  p Y ( y ) = ∫ − ∞ ∞ p X ( x ) p ( y ∣ x ) d x p_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty p_X(x)p(y|x)dx pY​(y)=∫−∞∞​pX​(x)p(y∣x)dx p X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ p Y ( y ) p ( x ∣ y ) d x p_X(x)=\int_{-\infty}^\infty p_Y(y)p(x|y)dx pX​(x)=∫−∞∞​pY​(y)p(x∣y)dx

• 貝葉斯公式

  p ( x ∣ y ) = p X ( x ) p ( y ∣ x ) ∫ − ∞ ∞ p X ( x ) p ( y ∣ x ) d y p(x|y)=\frac{p_X(x)p(y|x)}{\int_{-\infty}^{\infty}p_X(x)p(y|x)dy} p(x∣y)=∫−∞∞​pX​(x)p(y∣x)dypX​(x)p(y∣x)​ p ( y ∣ x ) = p Y ( y ) p ( x ∣ y ) ∫ − ∞ ∞ p Y ( y ) p ( x ∣ y ) d y p(y|x)=\frac{p_Y(y)p(x|y)}{\int_{-\infty}^{\infty}p_Y(y)p(x|y)dy} p(y∣x)=∫−∞∞​pY​(y)p(x∣y)dypY​(y)p(x∣y)​

多元随機變量函數的分布

卷積公式

設 X X X 和 Y Y Y 是兩個互相獨立的随機變量，其和 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

離 散 : P ( Z = k ) = ∑ i = 0 k P ( X = i ) P ( Y = k − i ) 離散:P(Z=k)=\sum\limits_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i) 離散:P(Z=k)=i=0∑k​P(X=i)P(Y=k−i) 連 續 ： p Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ p X ( z − y ) p Y ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ p X ( x ) p Y ( z − x ) d x 連續：p_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}p_X(z-y)p_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}p_X(x)p_Y(z-x)dx 連續：pZ​(z)=∫−∞+∞​pX​(z−y)pY​(y)dy=∫−∞+∞​pX​(x)pY​(z−x)dx

多元離散随機變量函數的分布

泊松分布的可加性

若随機變量 X ∼ P （ λ 1 ） , Y ∼ P ( λ 2 ) X\sim P（\lambda_1）,Y\sim P(\lambda_2) X∼P（λ1​）,Y∼P(λ2​) ，且 X X X 和 Y Y Y 獨立，則 Z = X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) . Z=X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2). Z=X+Y∼P(λ1​+λ2​).

二項分布的可加性

若随機變量 X ∼ b （ n , p ） , Y ∼ b ( m , p ) X\sim b（n,p）,Y\sim b(m,p) X∼b（n,p）,Y∼b(m,p) ，且 X X X 和 Y Y Y 獨立，則 Z = X + Y ∼ b ( n + m , p ) . Z=X+Y\sim b(n+m,p). Z=X+Y∼b(n+m,p).

最大值與最小值的分布

最大值分布

設 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​ 是互相獨立的 n n n 個随機變量，若 Y = m a x { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } Y=max\{ X_1,X_2,\cdots,X_n\} Y=max{X1​,X2​,⋯,Xn​}

1. 若 X i ∼ F i ( x ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n X_i\sim F_i(x),i=1,2,\cdots,n Xi​∼Fi​(x),i=1,2,⋯,n 則

   F Y ( y ) = P ( m a x { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } ≤ y ) F_Y(y)=P(max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\le y) FY​(y)=P(max{X1​,X2​,⋯,Xn​}≤y) = P ( X 1 ≤ y , X 2 ≤ y , ⋯   , X n ≤ y ) =P(X_1\le y,X_2\le y,\cdots,X_n\le y) =P(X1​≤y,X2​≤y,⋯,Xn​≤y) = P ( X 1 ≤ y ) P ( X 2 ≤ y ) ⋯ P ( X n ≤ y ) = ∏ i = 1 n F i ( y ) . =P(X_1\le y)P(X_2\le y)\cdots P(X_n\le y)=\prod\limits_{i=1}^n{F_i(y)}. =P(X1​≤y)P(X2​≤y)⋯P(Xn​≤y)=i=1∏n​Fi​(y).

2. 若諸 X i X_i Xi​同分布，即 X i ∼ F ( x ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n X_i\sim F(x),i=1,2,\cdots,n Xi​∼F(x),i=1,2,⋯,n 則

   F Y ( y ) = [ F ( y ) ] n . F_Y(y)=[F(y)]^n. FY​(y)=[F(y)]n.

3. 若諸 X i X_i Xi​ 為連續随機變量，且諸 X i X_i Xi​ 同分布，即 X i X_i Xi​ 的密度函數均為 p ( x ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n p(x),i=1,2,\cdots,n p(x),i=1,2,⋯,n 則

   F Y ( y ) = [ F ( y ) ] n . F_Y(y)=[F(y)]^n. FY​(y)=[F(y)]n. p Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = n [ F ( y ) ] n − 1 p ( y ) . p_Y(y)=F_Y^{'}(y)=n[F(y)]^{n-1}p(y). pY​(y)=FY′​(y)=n[F(y)]n−1p(y).

4. 若 X i ∼ E x p ( λ ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n X_i\sim Exp(\lambda),i=1,2,\cdots,n Xi​∼Exp(λ),i=1,2,⋯,n 則

   F Y ( y ) = { 0 y < 0 ( 1 − e − λ y ) n y ≥ 0 F_Y(y)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & & {y<0}\\ (1-e^{-\lambda y})^n & & {y\ge0}\\ \end{array} \right. FY​(y)={0(1−e−λy)n​​y<0y≥0​ p Y ( y ) = { 0 y < 0 n ( 1 − e − λ y ) n − 1 λ e − λ y y ≥ 0 p_Y(y)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & & {y<0}\\ n(1-e^{-\lambda y})^{n-1}\lambda e^{-\lambda y} & & {y\ge0}\\ \end{array} \right. pY​(y)={0n(1−e−λy)n−1λe−λy​​y<0y≥0​

最小值分布

設 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​ 是互相獨立的 n n n 個随機變量，若 Y = m i n { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } Y=min\{ X_1,X_2,\cdots,X_n\} Y=min{X1​,X2​,⋯,Xn​}

1. 若 X i ∼ F i ( x ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n X_i\sim F_i(x),i=1,2,\cdots,n Xi​∼Fi​(x),i=1,2,⋯,n 則

   F Y ( y ) = P ( m i n { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } ≤ y ) F_Y(y)=P(min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\le y) FY​(y)=P(min{X1​,X2​,⋯,Xn​}≤y) = 1 − P ( m i n { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } > y ) =1-P(min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}>y) =1−P(min{X1​,X2​,⋯,Xn​}>y) = 1 − P ( X 1 > y , X 2 > y , ⋯   , X n > y ) =1-P(X_1> y,X_2> y,\cdots,X_n>y) =1−P(X1​>y,X2​>y,⋯,Xn​>y) = 1 − P ( X 1 > y ) P ( X 2 > y ) ⋯ P ( X n > y ) = 1 − ∏ i = 1 n ( 1 − F i ( y ) ) . =1-P(X_1>y)P(X_2>y)\cdots P(X_n>y)=1-\prod\limits_{i=1}^n{(1-F_i(y))}. =1−P(X1​>y)P(X2​>y)⋯P(Xn​>y)=1−i=1∏n​(1−Fi​(y)).

2. 若諸 X i X_i Xi​同分布，即 X i ∼ F ( x ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n X_i\sim F(x),i=1,2,\cdots,n Xi​∼F(x),i=1,2,⋯,n 則

   F Y ( y ) = 1 − [ 1 − F ( y ) ] n . F_Y(y)=1-[1-F(y)]^n. FY​(y)=1−[1−F(y)]n.

3. 若諸 X i X_i Xi​ 為連續随機變量，且諸 X i X_i Xi​ 同分布，即 X i X_i Xi​ 的密度函數均為 p ( x ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n p(x),i=1,2,\cdots,n p(x),i=1,2,⋯,n 則

   F Y ( y ) = 1 − [ 1 − F ( y ) ] n . F_Y(y)=1-[1-F(y)]^n. FY​(y)=1−[1−F(y)]n. p Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = n [ 1 − F ( y ) ] n − 1 p ( y ) . p_Y(y)=F_Y^{'}(y)=n[1-F(y)]^{n-1}p(y). pY​(y)=FY′​(y)=n[1−F(y)]n−1p(y).

4. 若 X i ∼ E x p ( λ ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n X_i\sim Exp(\lambda),i=1,2,\cdots,n Xi​∼Exp(λ),i=1,2,⋯,n

   F Y ( y ) = { 0 y < 0 1 − e − n λ y y ≥ 0 F_Y(y)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & & {y<0}\\ 1-e^{-n\lambda y} & & {y\ge0}\\ \end{array} \right. FY​(y)={01−e−nλy​​y<0y≥0​ p Y ( y ) = { 0 y < 0 n λ e − n λ y y ≥ 0 p_Y(y)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & & {y<0}\\ n\lambda e^{-n\lambda y} & & {y\ge0}\\ \end{array} \right. pY​(y)={0nλe−nλy​​y<0y≥0​

多元連續随機變量函數的分布

正态分布的可加性

設随機變量 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2) X∼N(μ1​,σ12​)， Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) Y∼N(μ2​,σ22​)，且 X X X 與 Y Y Y 獨立，則 Z = X + Y ∼ N ( μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) Z=X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) Z=X+Y∼N(μ1​+μ2​,σ12​+σ22​)

伽馬分布的可加性

設随機變量 X ∼ G a ( α 1 , λ ) X\sim Ga(\alpha_1,\lambda) X∼Ga(α1​,λ)， Y ∼ G a ( α 2 , λ ) Y\sim Ga(\alpha_2,\lambda) Y∼Ga(α2​,λ)，且 X X X 與 Y Y Y 獨立，則 Z = X + Y ∼ G a ( α 1 + α 2 , λ ) Z=X+Y\sim Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda) Z=X+Y∼Ga(α1​+α2​,λ)

變量變換法

1. 變量變換法

   設二維随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的聯合密度函數為 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y) ，如果函數

   { u = g 1 ( x , y ) v = g 2 ( x , y ) \left\{ \begin{array}{rcl} u=g_1(x,y)\\ v=g_2(x,y)\\ \end{array} \right. {u=g1​(x,y)v=g2​(x,y)​有連續偏導數，且存在唯一的反函數

   { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) \left\{ \begin{array}{rcl} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ \end{array} \right. {x=x(u,v)y=y(u,v)​其變換的雅可比行列式 J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) J=\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} J=∂(u,v)∂(x,y)​ 不為零，若

   { U = g 1 ( X , Y ) V = g 2 ( X , Y ) \left\{ \begin{array}{rcl} U=g_1(X,Y)\\ V=g_2(X,Y)\\ \end{array} \right. {U=g1​(X,Y)V=g2​(X,Y)​則 ( U , V ) (U,V) (U,V)的聯合密度函數為

   p ( u , v ) = p ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ J ∣ . p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))|J|. p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))∣J∣.

2. 增補變量法

   為了求出二維連續随機變量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的函數 U = g ( X , Y ) U=g(X,Y) U=g(X,Y) 的密度函數，增補一個新的随機變量 V = h ( X , Y ) V=h(X,Y) V=h(X,Y) ，一般令 V = X V=X V=X 或 V = Y V=Y V=Y ，先用變換法求出 ( U , V ) (U,V) (U,V) 的聯合密度函數 p ( u , v ) p(u,v) p(u,v) ，再對 p ( u , v ) p(u,v) p(u,v) 關于 v v v 積分，進而得出關于 U U U 的邊際密度函數.