Bloom Filter概念和原理

焦萌 2007年1月27日

Bloom Filter是一種空間效率很高的随機資料結構，它利用位數組很簡潔地表示一個集合，并能判斷一個元素是否屬于這個集合。Bloom Filter的這種高效是有一定代價的：在判斷一個元素是否屬于某個集合時，有可能會把不屬于這個集合的元素誤認為屬于這個集合（false positive）。是以，Bloom Filter不适合那些“零錯誤”的應用場合。而在能容忍低錯誤率的應用場合下，Bloom Filter通過極少的錯誤換取了存儲空間的極大節省。

集合表示和元素查詢

下面我們具體來看Bloom Filter是如何用位數組表示集合的。初始狀态時，Bloom Filter是一個包含m位的位數組，每一位都置為0。

為了表達S={x1, x2,…,xn}這樣一個n個元素的集合，Bloom Filter使用k個互相獨立的哈希函數（Hash Function），它們分别将集合中的每個元素映射到{1,…,m}的範圍中。對任意一個元素x，第i個哈希函數映射的位置hi(x)就會被置為1（1≤i≤k）。注意，如果一個位置多次被置為1，那麼隻有第一次會起作用，後面幾次将沒有任何效果。在下圖中，k=3，且有兩個哈希函數選中同一個位置（從左邊數第五位）。   

在判斷y是否屬于這個集合時，我們對y應用k次哈希函數，如果所有hi(y)的位置都是1（1≤i≤k），那麼我們就認為y是集合中的元素，否則就認為y不是集合中的元素。下圖中y1就不是集合中的元素。y2或者屬于這個集合，或者剛好是一個false positive。

錯誤率估計

前面我們已經提到了，Bloom Filter在判斷一個元素是否屬于它表示的集合時會有一定的錯誤率（false positive rate），下面我們就來估計錯誤率的大小。在估計之前為了簡化模型，我們假設kn<m且各個哈希函數是完全随機的。當集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k個哈希函數映射到m位的位數組中時，這個位數組中某一位還是0的機率是：

其中1/m表示任意一個哈希函數選中這一位的機率（前提是哈希函數是完全随機的），(1-1/m)表示哈希一次沒有選中這一位的機率。要把S完全映射到位數組中，需要做kn次哈希。某一位還是0意味着kn次哈希都沒有選中它，是以這個機率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e-kn/m是為了簡化運算，這裡用到了計算e時常用的近似：

令ρ為位數組中0的比例，則ρ的數學期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情況下，要求的錯誤率（false positive rate）為：

(1-ρ)為位數組中1的比例，(1-ρ)k就表示k次哈希都剛好選中1的區域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已經提到了，現在來看第一步近似。p’隻是ρ的數學期望，在實際中ρ的值有可能偏離它的數學期望值。M. Mitzenmacher已經證明[2] ，位數組中0的比例非常集中地分布在它的數學期望值的附近。是以，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：

相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更為友善。

最優的哈希函數個數

既然Bloom Filter要靠多個哈希函數将集合映射到位數組中，那麼應該選擇幾個哈希函數才能使元素查詢時的錯誤率降到最低呢？這裡有兩個互斥的理由：如果哈希函數的個數多，那麼在對一個不屬于集合的元素進行查詢時得到0的機率就大；但另一方面，如果哈希函數的個數少，那麼位數組中的0就多。為了得到最優的哈希函數個數，我們需要根據上一小節中的錯誤率公式進行計算。

先用p和f進行計算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m))，我們令g = k ln(1 − e−kn/m)，隻要讓g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e-kn/m，我們可以将g寫成

根據對稱性法則可以很容易看出當p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)時，g取得最小值。在這種情況下，最小錯誤率f等于(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外，注意到p是位數組中某一位仍是0的機率，是以p = 1/2對應着位數組中0和1各一半。換句話說，要想保持錯誤率低，最好讓位數組有一半還空着。

需要強調的一點是，p = 1/2時錯誤率最小這個結果并不依賴于近似值p和f。同樣對于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn)，p’ = (1 − 1/m)kn，我們可以将g’寫成

同樣根據對稱性法則可以得到當p’ = 1/2時，g’取得最小值。

位數組的大小

下面我們來看看，在不超過一定錯誤率的情況下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n個元素的集合。假設全集中共有u個元素，允許的最大錯誤率為є，下面我們來求位數組的位數m。

假設X為全集中任取n個元素的集合，F(X)是表示X的位數組。那麼對于集合X中任意一個元素x，在s = F(X)中查詢x都能得到肯定的結果，即s能夠接受x。顯然，由于Bloom Filter引入了錯誤，s能夠接受的不僅僅是X中的元素，它還能夠є (u - n)個false positive。是以，對于一個确定的位數組來說，它能夠接受總共n + є (u - n)個元素。在n + є (u - n)個元素中，s真正表示的隻有其中n個，是以一個确定的位數組可以表示

個集合。m位的位數組共有2m個不同的組合，進而可以推出，m位的位數組可以表示

個集合。全集中n個元素的集合總共有

個，是以要讓m位的位數組能夠表示所有n個元素的集合，必須有

即：

上式中的近似前提是n和єu相比很小，這也是實際情況中常常發生的。根據上式，我們得出結論：在錯誤率不大于є的情況下，m至少要等于n log2(1/є)才能表示任意n個元素的集合。

上一小節中我們曾算出當k = ln2· (m/n)時錯誤率f最小，這時f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。現在令f≤є，可以推出

這個結果比前面我們算得的下界n log2(1/є)大了log2 e ≈ 1.44倍。這說明在哈希函數的個數取到最優時，要讓錯誤率不超過є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

總結

在計算機科學中，我們常常會碰到時間換空間或者空間換時間的情況，即為了達到某一個方面的最優而犧牲另一個方面。Bloom Filter在時間空間這兩個因素之外又引入了另一個因素：錯誤率。在使用Bloom Filter判斷一個元素是否屬于某個集合時，會有一定的錯誤率。也就是說，有可能把不屬于這個集合的元素誤認為屬于這個集合（False Positive），但不會把屬于這個集合的元素誤認為不屬于這個集合（False Negative）。在增加了錯誤率這個因素之後，Bloom Filter通過允許少量的錯誤來節省大量的存儲空間。

自從Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之後，Bloom Filter就被廣泛用于拼寫檢查和資料庫系統中。近一二十年，伴随着網絡的普及和發展，Bloom Filter在網絡領域獲得了新生，各種Bloom Filter變種和新的應用不斷出現。可以預見，随着網絡應用的不斷深入，新的變種和應用将會繼續出現，Bloom Filter必将獲得更大的發展。

參考資料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.

[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.

[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf

[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt