目錄
- 1 簡介
- 2 原理
-
- 2.1 定義
- 2.2 推導
- 2.3 舉例
- 3 總結
1 簡介
統計檢測理論是利用信号的統計特性和噪聲的統計特性等資訊來建立最佳判決的數學理論。主要解決在受噪聲幹擾的觀測中，信号有無的判決問題。其數學基礎就是統計判決理論，又稱假設檢驗理論。 假設檢驗是進行統計判決的重要工具，信号檢測相當于數理統計中的假設檢驗。 假設就是檢驗對象的可能情況或狀态。對于雷達或聲呐檢測來說，可以選用兩個假設，即目标存在或不存在。
由于噪聲的存在及觀察樣本數或樣本長度的限制，在檢測過程中，不可避免地會産生判決錯誤。問題是怎樣盡可能地減少這些錯誤，這就是檢測系統的最佳化問題。錯誤一般分為兩種，一種是漏報，一種是虛警，在不同的工作情況下，這兩種錯誤所造成的後果并不一樣，是以可能對不同的錯誤有不同的重視程度，這就引入了最佳準則問題。不同的準則下有不同的判決規則（如選取的判決門限不同），使得檢測系統有不一樣的虛警錯誤和漏報錯誤配置設定。 這樣的準則有最小平均風險準則（又稱Bayes準則）、極大極小準則（又稱安全平均風險準則）和Neyman-Pearson準則（又稱檢測機率最大準則）等。
Bayes 準則需知道先驗機率和代價函數，極大極小準則需知道代價函數。Neyman-Pearson 準則則是解決二者均不知的判決問題，該方法是确定虛警機率或漏報機率中的一種，再去求使另一種達到極小的判決，也就是假定有一類錯誤最重要，因而作出嚴格的限制，再去确定使其它類錯誤最小的判決界。一般對虛警要求較高，是以，先限定虛警，再去求最小漏報或最大檢測，是以 N-P 準則有時也叫恒虛警檢測。 恒虛警檢測技術（CFAR，Constant False-Alarm Rate）是雷達系統在保持虛警機率恒定條件下對接收機輸出的信号與噪聲作判别以确定目标信号是否存在的技術。
2 原理
恒虛警檢測器首先對輸入的噪聲進行處理後确定一個門限，将此門限與輸入端信号相比，如輸入端信号超過了此門限，則判為有目标，否則，判為無目标。一般信号由信号源發出，在傳播的過程中受到各種幹擾，到達接收機後經過處理，輸出到檢測器，然後檢測器根據适當的準則對輸入的信号做出判決。
2.1 定義
信号接收機輸出端的信号用 x ( t ) x(t) x(t)表示，這裡存在兩種情況：
- 噪聲和信号同時存在： x ( t ) = s ( t ) + n ( t ) x(t)=s(t)+n(t) x(t)=s(t)+n(t)
- 隻有噪聲存在： x ( t ) = n ( t ) x(t)=n(t) x(t)=n(t)
用 H 0 H_{0} H0和 H 1 H_{1} H1分别表示接收機的無信号輸入和有信号輸入的假設；
用 D 0 D_{0} D0和 D 1 D_{1} D1分别表示檢測器作出無信号和有信号的判決結果。
于是接收機的輸入與檢測器的判決将有四種情況：
- H 0 H_{0} H0為真，判為 D 0 D_{0} D0，即接收機無信号輸入，檢測器判為無信号，稱為正确不發現；
- H 0 H_{0} H0為真，判為 D 1 D_{1} D1，即接收機無信号輸入，檢測器判為有信号，稱為虛警；
- H 1 H_{1} H1為真，判為 D 0 D_{0} D0，即接收機有信号輸入，檢測器判為無信号，稱為漏警；
- H 1 H_{1} H1為真，判為 D 1 D_{1} D1，即接收機有信号輸入，檢測器判為有信号，稱為正确檢測；
其中第一種情況和第四種情況屬于正确判決，其餘兩種屬于錯誤判決。
用 p ( z ∣ H 0 ) p(z|{{H}_{0}}) p(z∣H0)和 p ( z ∣ H 1 ) p(z|{{H}_{1}}) p(z∣H1)分别表示無信号輸入和有信号輸入接收機時，接收機輸出端的信号電平的機率密度函數；
用 Z 0 Z_{0} Z0和 Z 1 Z_{1} Z1分别表示檢測器作出無信号和有信号判決的判決區域，當輸入的電平在 Z 0 Z_{0} Z0區域判為無信号，在 Z 1 Z_{1} Z1區域判為有信号。
2.2 推導
設虛警機率為 P F {P}_{F} PF，漏報機率為 P M {P}_{M} PM，檢測機率為 P M {P}_{M} PM，則N-P準則為
利用拉格朗日乘子 λ \lambda λ構造目标函數
J = P M + λ ( P F − α ) J={{P}_{M}}+\lambda ({{P}_{F}}-\alpha ) J=PM+λ(PF−α)
= ∫ Z 0 p ( z ∣ H 1 ) d z + λ [ ∫ Z 1 p ( z ∣ H 0 ) d z − α ] =\int_{{{Z}_{0}}}{p(z|{{H}_{1}})dz}+\lambda \left[ \int_{{{Z}_{1}}}{p(z|{{H}_{0}})dz}-\alpha \right] =∫Z0p(z∣H1)dz+λ[∫Z1p(z∣H0)dz−α]
= ∫ Z 0 p ( z ∣ H 1 ) d z + λ [ 1 − ∫ Z 0 p ( z ∣ H 0 ) d z − α ] =\int_{{{Z}_{0}}}{p(z|{{H}_{1}})dz}+\lambda \left[ 1-\int_{{{Z}_{0}}}{p(z|{{H}_{0}})dz}-\alpha \right] =∫Z0p(z∣H1)dz+λ[1−∫Z0p(z∣H0)dz−α]
= J = λ ( 1 − α ) + ∫ Z 0 [ p ( z ∣ H 1 ) − λ p ( z ∣ H 0 ) ] d z =J=\lambda \left( 1-\alpha \right)+\int_{{{Z}_{0}}}{\left[ p(z|{{H}_{1}})-\lambda p(z|{{H}_{0}}) \right]dz} =J=λ(1−α)+∫Z0[p(z∣H1)−λp(z∣H0)]dz
顯然 P F = α P_{F}=\alpha PF=α時，使J達到最小就等價于使 P M P_{M} PM達到最小。于是令 J J J對 Z 0 {Z}_{0} Z0的導數為 0 0 0，也就是積分号内值為 0 0 0，則有
λ ( z 0 ) = p ( z 0 ∣ H 1 ) p ( z 0 ∣ H 0 ) = λ \lambda ({{z}_{0}})=\frac{p({{z}_{0}}|{{H}_{1}})}{p({{z}_{0}}|{{H}_{0}})}=\lambda λ(z0)=p(z0∣H0)p(z0∣H1)=λ
而似然比為
λ ( z ) = p ( z ∣ H 1 ) p ( z ∣ H 0 ) \lambda (z)=\frac{p(z|{{H}_{1}})}{p(z|{{H}_{0}})} λ(z)=p(z∣H0)p(z∣H1)
這裡 z 0 {z}_{0} z0就是電平比較門限，若輸入電平 z {z} z大于 z 0 {z}_{0} z0，也就是 λ ( z ) \lambda (z) λ(z)大于 λ \lambda λ，判決有信号輸入；若輸入電平 z {z} z小于 z 0 {z}_{0} z0，也就是 λ ( z ) \lambda (z) λ(z)小于 λ \lambda λ時，判決無信号輸入。
其中 λ \lambda λ的取值由 P F = α P_{F}=\alpha PF=α确定。在輸入信号是一維的情況下，可由下式求得 λ \lambda λ。 ∫ λ ∞ p [ λ ( z ) ∣ H 0 ] d λ ( z ) = α \int_{\lambda }^{\infty }{p\left[ \lambda (z)|{{H}_{0}} \right]d\lambda (z)}=\alpha ∫λ∞p[λ(z)∣H0]dλ(z)=α或者由下式求得 z 0 z_{0} z0
P F = ∫ z 0 ∞ p [ z ∣ H 0 ] d z {{P}_{F}}=\int_{{{z}_{0}}}^{\infty }{p\left[ z|{{H}_{0}} \right]dz} PF=∫z0∞p[z∣H0]dz再由下式求得 λ \lambda λ。
λ = p ( z 0 ∣ H 1 ) p ( z 0 ∣ H 0 ) \lambda =\frac{p({{z}_{0}}|{{H}_{1}})}{p({{z}_{0}}|{{H}_{0}})} λ=p(z0∣H0)p(z0∣H1)
2.3 舉例
數字通信系統中，備選假設為 H 1 H_{1} H1時，信源輸出電壓為 1 1 1；備選假設為 H 0 H_{0} H0時，信源輸出為 0 0 0。信号在通信信道上疊加了噪聲 n ( t ) n(t) n(t)，附加噪聲 n ( t ) n(t) n(t)為零均值，方差為1的高斯噪聲。試構造一個 P F = 0.1 P_{F}=0.1 PF=0.1的聶曼-皮爾遜接收機。
解：在 H 1 H_{1} H1和 H 0 H_{0} H0兩種假設下，若 z z z為接收信号， n n n為噪聲，則接收機的輸出信号可以寫為
- H 1 H_{1} H1： z = 1 + n z=1+n z=1+n
- H 0 H_{0} H0： z = n z=n z=n
由于 n n n是高斯變量，均值為 0、方差為 1。在這兩種假設下， z z z的機率密度函數為
p ( z ∣ H 0 ) = 1 2 π exp ( − z 2 2 ) p(z|{{H}_{0}})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{{{z}^{2}}}{2}) p(z∣H0)=2π
1exp(−2z2)
p ( z ∣ H 1 ) = 1 2 π exp [ − ( z − 1 ) 2 2 ] p(z|{{H}_{1}})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{{{\left( z-1 \right)}^{2}}}{2}] p(z∣H1)=2π
1exp[−2(z−1)2]
似然比為
λ ( z ) = p ( z ∣ H 1 ) p ( z ∣ H 0 ) = exp ( z − 1 2 ) \lambda (z)=\frac{p(z|{{H}_{1}})}{p(z|{{H}_{0}})}=\exp (z-\frac{1}{2}) λ(z)=p(z∣H0)p(z∣H1)=exp(z−21)
那麼判決規則為：若 λ ( z ) \lambda (z) λ(z)大于 λ \lambda λ，判決有信号輸入；若 λ ( z ) \lambda (z) λ(z)小于 λ \lambda λ時，判決無信号輸入。
用對數似然比的形式将上式寫為
ln λ ( z ) = ln p ( z ∣ H 1 ) p ( z ∣ H 0 ) = z − 1 2 \ln \lambda (z)=\ln \frac{p(z|{{H}_{1}})}{p(z|{{H}_{0}})}=z-\frac{1}{2} lnλ(z)=lnp(z∣H0)p(z∣H1)=z−21
則判決規則變成：若信号電平 z z z大于 ( ln λ + 1 2 ) (\ln \lambda +\frac{1}{2}) (lnλ+21)，判決有信号輸入；若 z z z小于 ( ln λ + 1 2 ) (\ln \lambda +\frac{1}{2}) (lnλ+21)時，判決無信号輸入。
接下來求 λ \lambda λ，設 ( ln λ + 1 2 ) ≡ γ (\ln \lambda +\frac{1}{2})\equiv \gamma (lnλ+21)≡γ，由于 P F = 0.1 {P}_{F}=0.1 PF=0.1，即
∫ γ ∞ p ( z ∣ H 0 ) d z = ∫ γ ∞ 1 2 π exp ( − z 2 2 ) d z = 0.1 \int_{\gamma }^{\infty }{p(z|{{H}_{0}})dz}=\int_{\gamma }^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{{{z}^{2}}}{2})dz}=0.1 ∫γ∞p(z∣H0)dz=∫γ∞2π
1exp(−2z2)dz=0.1
于是 γ = 1.29 \gamma=1.29 γ=1.29，固有 λ = exp ( γ − 0.5 ) = 2.2 \lambda =\exp (\gamma -0.5)=2.2 λ=exp(γ−0.5)=2.2
則檢測機率為
P D = P ( D 1 ∣ H 1 ) = ∫ γ ∞ p ( z ∣ H 1 ) d z = ∫ γ ∞ 1 2 π exp [ − ( z − 1 ) 2 2 ] d z = 0.614 {{P}_{D}}=P({{D}_{1}}|{{H}_{1}})=\int_{\gamma }^{\infty }{p(z|{{H}_{1}})dz}=\int_{\gamma }^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{{{(z-1)}^{2}}}{2}]dz}=0.614 PD=P(D1∣H1)=∫γ∞p(z∣H1)dz=∫γ∞2π
1exp[−2(z−1)2]dz=0.614
可以看出， P D P_{D} PD過低，原因是 P F P_{F} PF較小，适當增大虛警機率 P F P_{F} PF門限，可提高檢測機率 P D P_{D} PD，當采用多個觀察時，效果也會變好。
3 總結
雷達信号的檢測總是在幹擾背景下進行的，這些幹擾包括接收機内部的熱噪聲，以及地物、雨雪、海浪等雜波幹擾，有時還有敵人施放的有源和無源幹擾。雜波和敵人施放幹擾的強度常比接收機内部噪聲電平高得多。是以，在強幹擾中提取信号，不僅要求有一定的信噪比，而且必須對信号作恒虛警處理。
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