１. 引子
看傅立葉變換的時候，一直奇怪，幂指數是怎麼映射成三角函數的？學習了一下歐拉公式，果然很神奇，用到了自然常數e，圓周率π，虛數i，三角函數sin/cos，指數，還有泰勒展開．倒不是算法有多難，隻是涉及基礎太多，經常被卡住，總結如下．
２. 泰勒展開
泰勒展開是用多項式逼近原函數，這麼做是因為像sin(x)這樣的函數，如果代入x=4很難算出結果，但是将x的值代入形如f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3…的多項式就很容易計算。具體是用原函數的導數實作的，把函數展開成多項式，公式如下：
其中Rn(x)是餘項
３. 自然常數e
e是自然常數(歐拉數)，它是一個約等于2.718的無理數，定義是
它的含義可以通過複利來了解，假設你有1塊錢，年利息是1塊錢（100%），一年後可拿到兩塊錢(1+1/1)^1=2；按利滾利計算，如果半年付一次利息(1+1/2)^2=2.25；一個月付一次息，(1+1/12)^12=2.61；每天付一次息，(1+1/365)^365=2.715，當x驅于無窮時e約為2.718．
４. 自然指數e^x的泰勒級數展開
把e^x在x=0處展開，由于e^0=1且e^x的導數還是e^x，展開後得到
上圖是e^x，以及展開式前5項和前10項拟合的圖像
５. 複數
複數是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，i^2=-1.（對應直角坐标系）
在複變函數(複數作為自變量和因變量的函數)中，變量z可以寫成z=r (cosθ+ isinθ) ．r是z的模，即r = |z|; θ是z的輻角，複數記作點Z(a,b)或向量OZ（對應極坐标系）
把乘一次i看成相對0點逆時針轉90度，乘兩次，轉180度，轉成實軸的-1，轉三次是-i，轉四次又回到機關1。是以可以把其虛部看成定義如何旋轉。
６. 把虛數i代入e^x的展開式
虛數i是-1開方，是以有i^1=i, i^2=-1，i^3=-i，i^4=1
此時可以看到其結果分為實部和虛部兩部分
７. 把sin(x)做泰勒級數展開
在x=0處展開，由于sin(0)=0，cos(0)=1，sin’(x)=cos(x)，cos’(x)=-sin(x)
８. 把cos(x)做泰勒級數展開
在x=0處展開
９. 歐拉公式
由以上幾步，可以看到e^ix的實部和虛部正好對應sin(x)和cos(x)的展開，據此，得到歐拉公式：
歐拉公式将指數函數的定義域擴大到了複數域，建立了三角函數和指數函數的關系，被譽為“數學中的天橋”。
下圖中，将上式右側表示為二維坐标中的點，xy軸分别表示其實部虛部，θ為轉角(即上式中的x)，轉動半徑為機關1（模不變）．它的幾何意義就是随着虛部x的增加不斷轉圈．
可以把 e^(i*x) 看作通過機關圓的圓周運動來描述機關圓上的點，e^(i*x)表示在機關圓上轉動了x弧度(即某個角度時)得到的向量，以此類推，e^(πi)在機關圓上轉了半圈。顯然得到的是實軸上的-1，然後與1合并可抵消得到0 ，由此得到 ：
１０. 擴充成時間的函數
上圖中又加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是時間，w是系數。
把平面上的轉圈擴充成了空間中的轉圈，縱軸表示時間t，兩個橫軸分别為實部(cos(t))和虛部(sin(t))，藍線經過的點是e^ix，即，把時域上的e^ix分别投射到了實軸cos(t)和虛軸sin(t)，它們都是時間t的函數．圖中可看到正餘和餘弦的投射（紅／綠），如果用python做3D圖，拖動旋轉角度效果更直覺．這就傅立葉變換原理：将時域值拆分映射到頻域，通過三角函數的疊加表示。