數字設計中的小數處理——在加法與乘法運算中

先提兩個問題：

【1】 數字設計中小數的處理

【2】 加法器、乘法器中輸出資料的位寬問題

1、有符号數和無符号數的定義，最高位表示符号位，其他位為資料位。無符号數則沒有符号位；

2、有符号數和無符号數轉化為10進制表示的時候唯一的差別就是最高位的權重不同，這裡的負數的表示與3中的表示不相同，這裡的每一個位都具有權值，隻不過最高位（即符号位）也是參與到權值貢獻中，且其表示的為負值；

舉例：如4bit二進制若表示有符号數，則表示範圍為：

-8 ~7

，即

1000 ~0111

，若表示為無符号數，則表示範圍為：

0~15

，即

0000 ~ 1111

；

3、計算機中負數的表示方法：采用補碼。即負數表示時，除去符号位之外，将資料位先進行取反碼操作（按位取反），再作補碼操作（反碼基礎上加1）；

NOTE：2、3兩種表示有符号數的方式不同。

4、數的位擴充——符号位擴充

基于2中的資料表示方法，為了確定資料大小不變，對資料進行位擴充時，應該對符号位進行擴充；

2019.10.10

實際上，方式2中的方式就是以補碼的方式操作的，這時，若要計算出該補碼對應的十進制數，

有兩種方式：

一，權值法，最高位權值為負；

二、傳回原碼進行判斷（原碼至反碼的逆操作，同樣是先按位取反，然後再加一）。序号 2中采用符号位帶負權值的方法，隻是有助于人為去計算該code表達的十進制數值是多少。

5、定義：

　1、mQn是一個有符号數，最高位為符号位；

　2、mQn資料的總位寬為m；

　3、mQn資料的小數位寬為n；

則：

M位寬整數表示範圍：位寬為m的無符号整數的資料範圍為

0~2^(m)-1

，

位寬為m的有符号整數的資料範圍為

-2^（m-1）~2^（m-1）-1。

有符号小數表示範圍：mQn格式資料的資料範圍為

-2^（m-n-1）~ 2^（m-n-1）-1/2^n

。

6、兩個有符号數的和

兩個有符号數相加，為了保證和不溢出，首先應該把兩個資料進行擴充使小數點對齊，然後把擴充後的資料繼續進行一位的符号位擴充，這樣相加的結果才能保證不溢出。

　　舉例：現在要把5Q2的資料5’b100.01和4Q3的資料4’b1.011相加。

Step1、由于5Q2的資料小數位隻有2位，而4Q3的資料小數點有3位，是以先把5Q2的資料5’b100.01擴位為6Q3的資料6’b100.010，使它和4Q3資料的小數點對齊

Step2、小數點對齊以後，然後把4Q3的資料4’b1.011進行符号位擴充成6Q3的資料6’b111.011

Step3、兩個6Q3的資料相加，為了保證和不溢出，和應該用7Q3的資料來存儲。是以需要先把兩個6Q3的資料進行符号位擴充成7Q3的資料，然後相加，這樣才能保證計算結果是完全正确的。

7、兩個有符号數的積

　　兩個有符号數相乘，為了保證積不溢出，積的總資料位寬為兩個有符号數的總位寬之和，積的小數資料位寬為兩個有符号數的小數位寬之和。簡單來說，兩個4Q2資料相乘，要想保證積不溢出，積應該用8Q4格式來存。這是因為4Q2格式資料的範圍為：

-2~（2-1/2^2）

，那麼兩個4Q2資料相乘積的範圍為：

（-4+1/2）~4

，而8Q4格式的資料範圍為：

-8~（8-1/2^4）

，一定能準确的存放兩個4Q2格式資料的積。

　　結論: mQn和aQb資料相乘，積應該用（m+a）Q（n+b）格式的資料進行存儲。