bloom filter

    看到hadoop join和hbase都有bloom filter的實作，找了找他的介紹文檔

   轉http://blog.csdn.net/wbia2010lkl/article/details/5953629

       轉http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500

   在javaEyes上找到一篇挺有用的文章，希望能對大家了解Bloom filter有幫助 

1 Overview

    Bloom filter最早由 Burton Howard Bloom提出，是一種用于判斷成員是否存在于某個集合中的資料結構。 Bloom filter的判斷基于機率論：

• •     如果某個成員存在于集合中，那麼Bloom filter不會傳回假（即不存在），也就是說false negative是不可能的。
  •      如果某個成員實際上不存在于集合中，Bloom filter可能傳回真（即存在），這種情況被稱為false positive。
  •    （hbase的hfile使用bloom fitler，可以确定的告訴你指定的rk不在目前hfile中，但是不确定他是否在目前hfile中）

    Bloom filter通常被實作為一個包含 m 位的位數組（bit array），所有位的初始值都為0。Bloom filter支援以下兩種類型的操作：

• add。将成員添加到Bloom filter中。以該成員為參數調用 k 個索引函數（index functions），得到 k 個位數組的索引值，取值範圍是 [0, m)， 然後将位數組的對應位設定為1。
• query。判斷某個成員是否已經添加到Bloom filter中。以該成員為參數調用 k 個索引函數，得到 k 個位數組的索引值，然後根據這些索引值檢查位數組：當位數組中所有的對應位均為1時，那麼認為該成員已經存在。

    如果query的結果為真（即positive），那麼實際上存在以下兩種可能性：

• 該成員已經被add到集合中，即該成員的确存在。
• 該成員未被add到集合中，但是query過程中檢查的所有位均被設定為1（由于添加的其它成員導緻）。這種情況被稱為false positive。

    傳統的Bloom filter 不支援從集合中删除成員。對于每個添加到Bloom filter中的成員，實際上将其位數組中的 k 位設定為1。盡管将這些位重置為0可以保證從Bloom filter中删除該成員，但是這樣做的副作用是可能會影響某些其它成員，因為其它成員也可能被映射到這些被重置為0的位中的一位或者多位， 進而最終導緻false negatives。對于Bloom filter而言，false negatives是不被允許的。 Counting Bloom filter由于采用了計數，是以支援remove操作。

    Bloom filter 使用的 k 個index functions，有時也被稱為hash functions，它們通常被假定為彼此獨立，傳回值在可能的取值範圍内均勻分布（這是以下一系列數學證明的基礎）。

2 The Math

    Bloom filter的基本概念并不複雜，接下來分析一下query操作對某個未被添加的成員傳回positive（即false positive）的機率：

    假設p是位數組中某一位為1的機率， 那麼false positive的機率是 pk 。如果n是已經添加到Bloom filter中的成員個數，那麼 p = 1 – (1 – 1/m)nk，經過一系列推導得到 p ≈ （ 1 – e-kn/m ） k ， 當 k = m / n * ln2 時（ln 即 loge ），p為最小值。 例如當k = 8， m/n = 10時， false positive的理論值為0.00846。以下是段計算false positive的執行個體代碼：

Java代碼

1. public static double calculateFalsePositiveProbability(int k, int m, int n) {   
2.     return Math.pow((1 - Math.exp(-k * (double) n  / (double) m)), k);   
3. }  

    對于某些應用而言，false positive的機率已經是一個足夠好的判斷Bloom filter準确性的名額，Peter C.Dillinger 和 Panagiotis Manolios 在其Bloom Filters in Probablistic Verfification的論文中指出，對于query過程中的不确定性， state omission 是一個更合适的名額。建議感興趣的讀者閱讀該論文，順便也可以複習一下相關的數學知識。

3 Refinement

    So far, so good。 跟普通的HashMap相比， Bloom filter不需要在記憶體中儲存key和value， 而是位數組中的若幹個位即可，這在記憶體使用上是個巨大的節省，當然前提是能容忍一定機率的false positives。但是傳統的Bloom filter存在以下兩個嚴重的缺陷：

• 為了保證足夠低的false positive機率，通常索引函數的個數 k 比較大（例如十幾甚至幾十，但通常不超過32）。 能找到這麼多個random，uniform and independent的索引函數并不是一件容易的事情。
• 數量衆多的索引函數，導緻add和query的性能不高。

    Peter C.Dillinger 和 Panagiotis Manolios在其論文中指出，fingerprinting Bloom filter可以有效地減少索引函數的個數，并且對準确性的影響可以小到忽略。這對于傳統的Bloom filter來說，是個重大的改進。筆者使用了其中介紹的triple hashing，認為效果比較明顯。

4 Implementation

    如果Google以Java實作的Bloom filter， java-bloomfilter 可能是最容易找到的實作之一。它采用的是傳統的Bloom filter算法：使用的 k 個索引函數（預設都是MD5），隻是索引函數在進行計算時對參數的加鹽（salting）不同而已。筆者認為 java-bloomfilter 的性能可能有待提升。

    Hadoop common的util包中也提供了一個Bloom Filter的實作，此外其hash包還提供了JenkinsHash 和 MurmurHash 兩個Hash算法。筆者感覺Hadoop 的Bloom filter的實作方式類似fingerprinting Bloom filter，但是沒有使用double hashing 或者tripple hashing。

    此外關于位數組的實作方式，可能最直接想法的是使用java.util.BitSet。不過筆者認為如果處理的資料量很大、或者性能要求比較高，那麼不建議使用java.util.BitSet， 因為java.util.BitSet的記憶體使用方式、總體性能都不是很理想。

5 Reference

1. Bloom Filters in Probablistic Verfification. Peter C.Dillinger and Panagiotis Manolios
2. Hadoop的Bloom filter實作。http://hadoop.apache.org/common/
3. java-bloomfilter.  http://code.google.com/p/java-bloomfilter/

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Bloom Filter概念和原理

焦萌 2007年1月27日

Bloom Filter是一種空間效率很高的随機資料結構，它利用位數組很簡潔地表示一個集合，并能判斷一個元素是否屬于這個集合。Bloom Filter的這種高效是有一定代價的：在判斷一個元素是否屬于某個集合時，有可能會把不屬于這個集合的元素誤認為屬于這個集合（false positive）。是以，Bloom Filter不适合那些“零錯誤”的應用場合。而在能容忍低錯誤率的應用場合下，Bloom Filter通過極少的錯誤換取了存儲空間的極大節省。

集合表示和元素查詢

下面我們具體來看Bloom Filter是如何用位數組表示集合的。初始狀态時，Bloom Filter是一個包含m位的位數組，每一位都置為0。

為了表達S={x1, x2,…,xn}這樣一個n個元素的集合，Bloom Filter使用k個互相獨立的哈希函數（Hash Function），它們分别将集合中的每個元素映射到{1,…,m}的範圍中。對任意一個元素x，第i個哈希函數映射的位置hi(x)就會被置為1（1≤i≤k）。注意，如果一個位置多次被置為1，那麼隻有第一次會起作用，後面幾次将沒有任何效果。在下圖中，k=3，且有兩個哈希函數選中同一個位置（從左邊數第五位）。   

在判斷y是否屬于這個集合時，我們對y應用k次哈希函數，如果所有hi(y)的位置都是1（1≤i≤k），那麼我們就認為y是集合中的元素，否則就認為y不是集合中的元素。下圖中y1就不是集合中的元素。y2或者屬于這個集合，或者剛好是一個false positive。

錯誤率估計

前面我們已經提到了，Bloom Filter在判斷一個元素是否屬于它表示的集合時會有一定的錯誤率（false positive rate），下面我們就來估計錯誤率的大小。在估計之前為了簡化模型，我們假設kn<m且各個哈希函數是完全随機的。當集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k個哈希函數映射到m位的位數組中時，這個位數組中某一位還是0的機率是：

其中1/m表示任意一個哈希函數選中這一位的機率（前提是哈希函數是完全随機的），(1-1/m)表示哈希一次沒有選中這一位的機率。要把S完全映射到位數組中，需要做kn次哈希。某一位還是0意味着kn次哈希都沒有選中它，是以這個機率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e-kn/m是為了簡化運算，這裡用到了計算e時常用的近似：

令ρ為位數組中0的比例，則ρ的數學期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情況下，要求的錯誤率（false positive rate）為：

(1-ρ)為位數組中1的比例，(1-ρ)k就表示k次哈希都剛好選中1的區域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已經提到了，現在來看第一步近似。p’隻是ρ的數學期望，在實際中ρ的值有可能偏離它的數學期望值。M. Mitzenmacher已經證明[2] ，位數組中0的比例非常集中地分布在它的數學期望值的附近。是以，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：

相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更為友善。

最優的哈希函數個數

既然Bloom Filter要靠多個哈希函數将集合映射到位數組中，那麼應該選擇幾個哈希函數才能使元素查詢時的錯誤率降到最低呢？這裡有兩個互斥的理由：如果哈希函數的個數多，那麼在對一個不屬于集合的元素進行查詢時得到0的機率就大；但另一方面，如果哈希函數的個數少，那麼位數組中的0就多。為了得到最優的哈希函數個數，我們需要根據上一小節中的錯誤率公式進行計算。

先用p和f進行計算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m))，我們令g = k ln(1 − e−kn/m)，隻要讓g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e-kn/m，我們可以将g寫成

根據對稱性法則可以很容易看出當p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)時，g取得最小值。在這種情況下，最小錯誤率f等于(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外，注意到p是位數組中某一位仍是0的機率，是以p = 1/2對應着位數組中0和1各一半。換句話說，要想保持錯誤率低，最好讓位數組有一半還空着。

需要強調的一點是，p = 1/2時錯誤率最小這個結果并不依賴于近似值p和f。同樣對于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn)，p’ = (1 − 1/m)kn，我們可以将g’寫成

同樣根據對稱性法則可以得到當p’ = 1/2時，g’取得最小值。

位數組的大小

下面我們來看看，在不超過一定錯誤率的情況下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n個元素的集合。假設全集中共有u個元素，允許的最大錯誤率為є，下面我們來求位數組的位數m。

假設X為全集中任取n個元素的集合，F(X)是表示X的位數組。那麼對于集合X中任意一個元素x，在s = F(X)中查詢x都能得到肯定的結果，即s能夠接受x。顯然，由于Bloom Filter引入了錯誤，s能夠接受的不僅僅是X中的元素，它還能夠є (u - n)個false positive。是以，對于一個确定的位數組來說，它能夠接受總共n + є (u - n)個元素。在n + є (u - n)個元素中，s真正表示的隻有其中n個，是以一個确定的位數組可以表示

個集合。m位的位數組共有2m個不同的組合，進而可以推出，m位的位數組可以表示

個集合。全集中n個元素的集合總共有

個，是以要讓m位的位數組能夠表示所有n個元素的集合，必須有

即：

上式中的近似前提是n和єu相比很小，這也是實際情況中常常發生的。根據上式，我們得出結論：在錯誤率不大于є的情況下，m至少要等于n log2(1/є)才能表示任意n個元素的集合。

上一小節中我們曾算出當k = ln2· (m/n)時錯誤率f最小，這時f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。現在令f≤є，可以推出

這個結果比前面我們算得的下界n log2(1/є)大了log2 e ≈ 1.44倍。這說明在哈希函數的個數取到最優時，要讓錯誤率不超過є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

總結

在計算機科學中，我們常常會碰到時間換空間或者空間換時間的情況，即為了達到某一個方面的最優而犧牲另一個方面。Bloom Filter在時間空間這兩個因素之外又引入了另一個因素：錯誤率。在使用Bloom Filter判斷一個元素是否屬于某個集合時，會有一定的錯誤率。也就是說，有可能把不屬于這個集合的元素誤認為屬于這個集合（False Positive），但不會把屬于這個集合的元素誤認為不屬于這個集合（False Negative）。在增加了錯誤率這個因素之後，Bloom Filter通過允許少量的錯誤來節省大量的存儲空間。

自從Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之後，Bloom Filter就被廣泛用于拼寫檢查和資料庫系統中。近一二十年，伴随着網絡的普及和發展，Bloom Filter在網絡領域獲得了新生，各種Bloom Filter變種和新的應用不斷出現。可以預見，随着網絡應用的不斷深入，新的變種和應用将會繼續出現，Bloom Filter必将獲得更大的發展。

參考資料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.

[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.

[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf

[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt