86相似标準形07——若爾當(Jordan)标準形

文章目錄

• • 參考

1. 80相似标準形01——lambda矩陣
2. 81相似标準形02——初等變換、初等矩陣、相抵 (等價)、相抵标準形
3. 82相似标準形03——不變因子、行列式因子、相抵标準形的唯一性、用求行列式因子法求标準形
4. 83相似标準形04——相似與λ-矩陣的相抵
5. 84相似标準形05——有理标準形的不變因子、矩陣的有理标準形
6. 85相似标準形06——初等因子、初等因子與不變因子的求法
7. 86相似标準形07——若爾當(Jordan)标準形
8. 87相似标準形08——Jordan标準形
9. 88相似标準形09——JJordan-Chevalley分解、幂零矩陣與幂零變換、幂零矩陣的判别、中國剩餘定理、可換線性變換的性質
10. 89相似标準形10——J循環不變子空間

我們用初等因子的理論來解決若爾當标準形的計算問題.首先計算若爾當标準形的初等因子.

不難算出若爾當塊

J 0 = ( λ 0 0 ⋯ 0 0 1 λ 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 λ 0 ) n × n J_{0}=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda_{0} \end{array}\right)_{n \times n} J0​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ0​10⋮0​0λ0​1⋮0​⋯⋯⋯⋯​000⋮1​000⋮λ0​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​n×n​

的初等因子是 ( λ − λ 0 ) n . \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} . (λ−λ0​)n.

事實上，考慮它的特征矩陣

λ E − J 0 = ( λ − λ 0 0 ⋯ 0 0 − 1 λ − λ 0 ⋯ 0 0 0 − 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ − 1 λ − λ 0 ) \lambda E-J_{0}=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda-\lambda_{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-\lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda-\lambda_{0} \end{array}\right) λE−J0​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ−λ0​−10⋮0​0λ−λ0​−1⋮0​⋯⋯⋯⋯​000⋮−1​000⋮λ−λ0​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

顯然 ∣ λ E − J 0 ∣ = ( λ − λ 0 ) n \left|\lambda E-J_{0}\right|=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} ∣λE−J0​∣=(λ−λ0​)n, 這就是 λ E − J 0 \lambda E-J_{0} λE−J0​ 的 n n n 級行列式因子.由于 λ E − J 0 \lambda E-J_{0} λE−J0​ 有一個 n − 1 n-1 n−1 級子式是

∣ − 1 λ − λ 0 ⋯ 0 0 0 − 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ − 1 λ − λ 0 0 0 ⋯ 0 − 1 ∣ = ( − 1 ) n − 1 \left|\begin{array}{ccccc} -1 & \lambda-\lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda-\lambda_{0} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 \end{array}\right|=(-1)^{n-1} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​−10⋮00​λ−λ0​−1⋮00​⋯⋯⋯⋯​00⋮−10​00⋮λ−λ0​−1​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=(−1)n−1

是以它的 n − 1 n-1 n−1 級行列式因子是 1 , 進而它以下各級的行列式因子全是 1. 1 . 1. 是以它的不變因子

d 1 ( λ ) = ⋯ = d n − 1 ( λ ) = 1 , d n ( λ ) = ( λ − λ 0 ) n d_{1}(\lambda)=\cdots=d_{n-1}(\lambda)=1, d_{n}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} d1​(λ)=⋯=dn−1​(λ)=1,dn​(λ)=(λ−λ0​)n

由此即得， λ E − J 0 \lambda E-J_{0} λE−J0​ 的初等因子是 ( λ − λ 0 ) n \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} (λ−λ0​)n.

再利用 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲5 的定理 9，若爾當形矩陣的初等因子也很容易算出.設

J = ( J 1 J 2 ⋱ J s ) J=\left(\begin{array}{llll} J_{1} & & & \\ & J_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{s} \end{array}\right) J=⎝⎜⎜⎛​J1​​J2​​⋱​Js​​⎠⎟⎟⎞​

是一個若爾當形矩陣，其中

J i = ( λ i 0 ⋯ 0 0 1 λ i ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 λ i ) k i × k i ( i = 1 , 2 , ⋯   , s ) . J_{i}=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{i} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda_{i} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda_{i} \end{array}\right)_{k_{i} \times k_{i}}(i=1,2, \cdots, s) . Ji​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λi​10⋮0​0λi​1⋮0​⋯⋯⋯⋯​000⋮1​000⋮λi​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​ki​×ki​​(i=1,2,⋯,s).

既然 J i J_{i} Ji​ 的初等因子是 ( λ − λ i ) k i ( i = 1 , 2 , ⋯   , s ) \left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{k_{i}}(i=1,2, \cdots, s) (λ−λi​)ki​(i=1,2,⋯,s), 是以 λ E − J i \lambda E-J_{i} λE−Ji​ 與

( 1 1 ⋱ ( λ − λ i ) k i ) \left(\begin{array}{llll} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{k_{i}} \end{array}\right) ⎝⎜⎜⎛​1​1​⋱​(λ−λi​)ki​​⎠⎟⎟⎞​

等價.于是

λ E − J = ( λ E k 1 − J 1 λ E k 2 − J 2 ⋱ λ E k s − J s ) \lambda E-J=\left(\begin{array}{cccc} \lambda E_{k_{1}} -J_{1}& & & & \\ & \lambda E_{k_{2}}-J_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda E_{k_{s}}-J_{s} \end{array}\right) λE−J=⎝⎜⎜⎛​λEk1​​−J1​​λEk2​​−J2​​⋱​λEks​​−Js​​⎠⎟⎟⎞​

與

等價.是以， J J J 的全部初等因子是:

( λ − λ 1 ) k 1 , ( λ − λ 2 ) k 2 , ⋯   , ( λ − λ s ) k s \left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{1}},\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{2}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{k_{s}} (λ−λ1​)k1​,(λ−λ2​)k2​,⋯,(λ−λs​)ks​

這就是說, 每個若爾當形矩陣的全部初等因子就是由它的全部若爾當形矩陣的初等因子構成的.由于每個若爾當塊完全由它的級數 n n n 與主對角線上元素 λ 0 \lambda_{0} λ0​ 所刻劃，而這兩個數都反映在它的初等因子 ( λ − λ 0 ) n \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} (λ−λ0​)n 中.是以，若爾當塊被它的初等因子唯一決定.由此可見，若爾當形矩陣除去其中若爾當塊排列的次序外被它的初等因子唯一決定.

定 理 10 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 10} }} 定理10​ 每個 n n n 級的複數矩陣 A A A 都與一個若爾當形矩陣相似，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被矩陣 A A A 唯一決定的, 它稱為 A A A 的若爾當标準形.

例 1 \Large{\color{violet}{例1}} 例1 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲5 的例中，12 級矩陣的若爾當标準形就是

例 2 \Large{\color{violet}{例2}} 例2 求矩陣

A = ( − 1 − 2 6 − 1 0 3 − 1 − 1 4 ) A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \end{array}\right) A=⎝⎛​−1−1−1​−20−1​634​⎠⎞​

的若爾當标準形.

解 :首先求 A A A 的初等因子,由

λ E − A = ( λ + 1 2 − 6 1 λ − 3 1 1 λ − 4 ) → ( 0 − λ + 1 − λ 2 + 3 λ − 2 0 λ − 1 − λ + 1 1 1 λ − 4 ) , → ( 1 0 0 0 λ − 1 − λ + 1 0 − λ + 1 − λ 2 + 3 λ − 2 ) → ( 1 0 0 0 λ − 1 − λ + 1 0 0 − λ 2 + 2 λ − 1 ) → ( 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 ( λ − 1 ) 2 ) \begin{aligned} \lambda E-A &=\left(\begin{array}{ccc} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\lambda+1 & -\lambda^{2}+3 \lambda-2 \\ 0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{array}\right), \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\ 0 & -\lambda+1 & -\lambda^{2}+3 \lambda-2 \end{array}\right) \\ &\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\ 0 & 0 & -\lambda^{2}+2 \lambda-1 \end{array}\right) \\ &\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda-1)^{2} \end{array}\right) \end{aligned} λE−A​=⎝⎛​λ+111​2λ1​−6−3λ−4​⎠⎞​→⎝⎛​001​−λ+1λ−11​−λ2+3λ−2−λ+1λ−4​⎠⎞​,→⎝⎛​100​0λ−1−λ+1​0−λ+1−λ2+3λ−2​⎠⎞​→⎝⎛​100​0λ−10​0−λ+1−λ2+2λ−1​⎠⎞​→⎝⎛​100​0λ−10​00(λ−1)2​⎠⎞​​

是以， A A A 的初等因子為 λ − 1 , ( λ − 1 ) 2 \lambda-1,(\lambda-1)^{2} λ−1,(λ−1)2,故 A A A 的若爾當标準形為 ( 1 0 0 0 1 0 0 1 1 ) \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) ⎝⎛​100​011​001​⎠⎞​.

定理 10 換成線性變換的語言來說就是:

定 理 11 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 11} }} 定理11​ 設 A \mathbf{A} A 是複數域上 n n n 維線性空間 V V V 的線性變換，在 V V V 中必定存在一組基，使 A \mathbf{A} A 在這組基下的矩陣是若爾當形，并且這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被 A \mathbf{A} A 唯一決定的.

應該指出，若爾當形矩陣包括對角矩陣作為特殊情形，那就是由一級若爾當塊構成的若爾當形矩陣，由此即得

定 理 12 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 12} }} 定理12​ 複數矩陣 A A A 與對角矩陣相似的充要條件是 A A A 的初等因子全為一次的.

根據若爾當形的作法, 可以看出矩陣 A A A 的最小多項式就是 A A A 的最後一個不變因子.是以有

定 理 13 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 13} }} 定理13​ 複數矩陣 A A A 與對角矩陣相似的充要條件是 A A A 的不變因子都沒有重根.

雖然我們證明了每個複數矩陣 A A A 都與一個若爾當形矩陣相似, 并且有了具體求矩陣 A A A 的若爾當标準形的方法，但是并沒有談到如何确定過渡矩陣 T T T ，使 T − 1 A T T^{-1} A T T−1AT 成若爾當标準形的問題. T T T 的确定牽涉到比較複雜的計算問題.

最後指出，如果規定上三角形矩陣

( λ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 λ 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ λ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 λ 0 ) \left(\begin{array}{cccccc} \lambda_{0} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{0} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{0} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{0} \end{array}\right) ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ0​0⋮00​1λ0​⋮00​01⋮00​⋯⋯⋯⋯​00⋮λ0​0​00⋮1λ0​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

為若爾當塊，應用完全類似的方法，可以證明相應于定理 10，定理 11 的結論也成立.

參考

高等代數 電子科技大學

高等代數_安陽師範學院

《高等代數》（第五版）