89相似标準形10——J循環不變子空間

文章目錄

• • 參考

1. 80相似标準形01——lambda矩陣
2. 81相似标準形02——初等變換、初等矩陣、相抵 (等價)、相抵标準形
3. 82相似标準形03——不變因子、行列式因子、相抵标準形的唯一性、用求行列式因子法求标準形
4. 83相似标準形04——相似與λ-矩陣的相抵
5. 84相似标準形05——有理标準形的不變因子、矩陣的有理标準形
6. 85相似标準形06——初等因子、初等因子與不變因子的求法
7. 86相似标準形07——若爾當(Jordan)标準形
8. 87相似标準形08——Jordan标準形
9. 88相似标準形09——JJordan-Chevalley分解、幂零矩陣與幂零變換、幂零矩陣的判别、中國剩餘定理、可換線性變換的性質
10. 89相似标準形10——J循環不變子空間

設 n n n 維F-空間 V V V 上的線性變換 A \mathcal{A} A 的特征多項式為 g ( λ ) g(\lambda) g(λ), 則 g ( A ) = O . g(\mathcal{A})=\mathcal{O} . g(A)=O.

∀ k ∈ Z > 0 \forall k \in \mathbb{Z}_{>0} ∀k∈Z>0​, 設 λ k = q ( λ ) g ( λ ) + r ( λ ) \lambda^{k}=\boldsymbol{q}(\lambda) \boldsymbol{g}(\lambda)+\boldsymbol{r}(\lambda) λk=q(λ)g(λ)+r(λ), 其中 deg ⁡ ( r ( λ ) ) < n . \operatorname{deg}(\boldsymbol{r}(\lambda))<\boldsymbol{n} . deg(r(λ))<n. 于是有

A k = q ( A ) g ( A ) + r ( A ) = r ( A ) , A k α = r ( A ) α , ∀ α ∈ V \mathcal{A}^{k}=\boldsymbol{q}(\mathcal{A}) \boldsymbol{g}(\mathcal{A})+\boldsymbol{r}(\mathcal{A})=\boldsymbol{r}(\mathcal{A}), \quad \mathcal{A}^{k} \alpha=\boldsymbol{r}(\mathcal{A}) \alpha, \forall \alpha \in \boldsymbol{V} Ak=q(A)g(A)+r(A)=r(A),Akα=r(A)α,∀α∈V

V V V 的由 A \mathcal{A} A 與 α ∈ V \alpha \in V α∈V 所确定的Krylov子空間:

I ( α ) : = span ⁡ ( α , A α , A 2 α , ⋯   ) = { c 0 α + c 1 A α + c 2 A 2 α + ⋯ + c k A k α ∣ k ∈ Z ≥ 0 , c i ∈ F , 1 ≤ i ≤ k } = { ( c 0 1 V + c 1 A + c 2 A 2 + ⋯   ) α ∣ c i ∈ F , ∀ i ∈ Z ≥ 0 } = { f ( A ) α ∣ f ( x ) ∈ F [ x ] } \begin{aligned} I(\alpha) &:=\operatorname{span}\left(\alpha, \mathcal{A} \alpha, \mathcal{A}^{2} \alpha, \cdots\right) \\ &=\left\{c_{0} \alpha+c_{1} \mathcal{A} \alpha+c_{2} \mathcal{A}^{2} \alpha+\cdots+c_{k} \mathcal{A}^{k} \alpha \mid k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}, c_{i} \in F, 1 \leq i \leq k\right\} \\ &=\left\{\left(c_{0} 1_{V}+c_{1} \mathcal{A}+c_{2} \mathcal{A}^{2}+\cdots\right) \alpha \mid c_{i} \in F, \forall i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\right\}=\{f(\mathcal{A}) \alpha \mid f(x) \in F[x]\} \end{aligned} I(α)​:=span(α,Aα,A2α,⋯)={c0​α+c1​Aα+c2​A2α+⋯+ck​Akα∣k∈Z≥0​,ci​∈F,1≤i≤k}={(c0​1V​+c1​A+c2​A2+⋯)α∣ci​∈F,∀i∈Z≥0​}={f(A)α∣f(x)∈F[x]}​

也稱為由 α \alpha α 關于 A \mathcal{A} A 生成的循環不變子空間.

例 1 \Large\color{violet}{例1} 例1 設 α ∈ V \alpha \in V α∈V 是 A \mathcal{A} A 的特征向量, 則 A α = λ α ⇒ A k α = λ k α ⇒ \mathcal{A} \alpha=\lambda \alpha \Rightarrow \mathcal{A}^{k} \alpha=\lambda^{k} \alpha \Rightarrow Aα=λα⇒Akα=λkα⇒

I ( α ) = { f ( A ) α ∣ f ( x ) ∈ F [ x ] } = { f ( λ ) α ∣ f ( x ) ∈ F [ x ] } = span ⁡ ( α ) ⇒ dim ⁡ I ( α ) = 1 I(\alpha)=\{f(\mathcal{A}) \alpha \mid f(x) \in F[x]\}=\{f(\lambda) \alpha \mid f(x) \in F[x]\}=\operatorname{span}(\alpha) \Rightarrow \operatorname{dim} I(\alpha)=1 I(α)={f(A)α∣f(x)∈F[x]}={f(λ)α∣f(x)∈F[x]}=span(α)⇒dimI(α)=1

反之, 設 dim ⁡ I ( α ) = 1 \operatorname{dim} I(\alpha)=1 dimI(α)=1

⇒ α \Rightarrow \alpha ⇒α 是 I ( α ) I(\alpha) I(α) 的基向量 ⇒ A α ∈ I ( α ) = { c α ∣ c ∈ F } \Rightarrow \mathcal{A} \alpha \in I(\alpha)=\{c \alpha \mid c \in F\} ⇒Aα∈I(α)={cα∣c∈F}

⇒ A α = k α \Rightarrow \mathcal{A} \alpha=\boldsymbol{k} \alpha ⇒Aα=kα 對某 k ⇒ α \boldsymbol{k} \quad \Rightarrow \alpha k⇒α 是 A \mathcal{A} A 的特征向量.

α ∈ V \alpha \in V α∈V 是 A \mathcal{A} A 的特征向量 ⇔ dim ⁡ I ( α ) = 1 \Leftrightarrow \operatorname{dim} I(\alpha)=1 ⇔dimI(α)=1

dim ⁡ I ( α ) \operatorname{dim} I(\alpha) dimI(α) 可用于刻畫 α \alpha α 離特征向量"有多遠".

參考

高等代數 電子科技大學

高等代數_安陽師範學院

《高等代數》（第五版）