嗯，确實還真有人看了我在雨夜寫的上一篇文章：
BBR的startup gain為什麼是2/ln2？：https://blog.csdn.net/dog250/article/details/80660091
并且提出了問題。我就再寫一篇文字解釋一下這些問題。
問題1： init_cwnd×2n=cwnd i n i t _ c w n d × 2 n = c w n d 對 n n 求導怎麼會是n×2n−1n×2n−1
問題2：如果能用 2x 2 x 同時表示速率和BDP，那麼對速率積分所得的BDP為什麼會比 2x 2 x 多出來一個 1ln2 1 ln 2 因子呢？
先來看第一個問題，這個是溫州皮鞋廠老闆在問我為什麼bbr_high_gain是 2ln2 2 ln 2 的時候他自己算出來的，很顯然他算錯了，至于為什麼錯，這要問老闆，可能是求導公式記錯了，但畢竟思路是對的，老闆記成了二項式的求導，比如 (xn)′=nxn−1 ( x n ) ′ = n x n − 1 這種。
長期不用這些公式，誰都會忘，熟記它們毫無意義，緊急用到了現查，不緊急又查不到就用連續性和求極限原理現推導都可以，我的觀點就是原理一定要明白，必要時自己能算，公式本身背下來沒有意義，大腦的存儲空間分為兩種用途，一部分是暫時記憶計算的中間過程的，類似寄存器，另一種用途則是記憶生活的，比如某段刻骨銘心的經曆或者讓你難忘的某個人的音容笑貌，純粹去記公式或者背誦課文，除了應對該死的考試，毫無意義。
第一個問題回到到此。
來看第二個問題，這個問題比較有意思。
首先你要先明白并且承認，我們可以用以下兩種方式表示BDP:
- BDP随着RTT指數倍增，是以使用 f2(x)=2x f 2 ( x ) = 2 x 表示BDP
- 速率随着RTT指數倍增，速率也可表示為 f1(x)=2x f 1 ( x ) = 2 x ，是以 F(x)=∫f1(x)dx F ( x ) = ∫ f 1 ( x ) d x 可以表示BDP
現在，沖突來了，我們注意到兩種方式表示的BDP并不相等！
f2(x)=2x≠2xln2=F(x) f 2 ( x ) = 2 x ≠ 2 x ln 2 = F ( x )
它們之間差了一個 1ln2 1 ln 2 因子！這是為什麼？？
答案就是BBR試圖要回答的：用平滑的曲線去拟合平滑的而不是離散的發送過程，進而求出bbr_high_gain。
我這裡形象的用圖示解釋一下。
我們把TCP BBR在startup階段發送的資料包想象成一個連續不斷向前走的東西，至于什麼東西，都可以，可以是汽車，也可以是火車。很顯然，發送的速率不斷增加，相鄰資料包是時間上的間隔會不斷縮短，對于第一個表達BDP的式子，它就像下圖這樣，我用顔色深淺表示發送速率，顔色越深，速率越低：
這像什麼？這像越來越快發射的子彈，也像一個城市的一條路上進入早高峰的過程。我們數數看一共多少個包，嗯，是6個，沒錯，這時的BDP就是6。
那麼如果用速率進行積分的話，會是一種什麼樣的場景呢？我們知道，積分是在一個連續函數上進行的，是以它的樣子應該是下面的這樣：
這像什麼？感覺有點像人留下來的長鼻涕，開始的時候很慢，随着越拉越長，在重力作用下其下端會加速墜落，同時一直到鼻孔處全部黏在一起而不斷…
看看這時的BDP怎麼算，非常顯然，這麼一長條除以MSS即是以資料包個數計數的BDP。由于其連續性，填補了直接用 2x 2 x 計數資料包時的離散空隙，多出來的那部分就是用因子 1ln2 1 ln 2 來增益的。
BBR算法正是用後面的這個連續函數的積分來計算針對上一個RTT時BDP的增益的，是以便有了：
F(x)=G×f2(x−1) F ( x ) = G × f 2 ( x − 1 )
由這個式子直接可以導出 G=2ln2 G = 2 ln 2 ，非常直接，以一個确定性的上個RTT周期的 f2(x−1) f 2 ( x − 1 ) 為錨點，求出連續情況下增益為多少，才能達到目前的BDP。
類似的，你也會發現，用BDP的表達式 f1(x)=2x f 1 ( x ) = 2 x 求導數計算速率時，也會遇到相同的問題，也是連續和離散的問題。這個時候，計算出來的導函數為 g(x)=2xln2 g ( x ) = 2 x ln 2 ，顯然是比 f2(x)=2x f 2 ( x ) = 2 x 更小，這是因為求導是在連續函數上進行的，是以為了求導，你必須把離散的資料包壓縮在一起，必然要縮短總距離：
好了，解釋完了，至于說為什麼一定要用連續函數來計算bbr_high_gain，純粹是因為這樣算出來的值會更加平滑，因為如果你直接使用曲線 2x 2 x 中的增益 2 2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3585">2</script>，那麼相當于你預設了一個限制，即每到一個RTT倍數的準點，你的PacingRate即速率将會面臨一次翻倍，然而具體實作當中，這個限制很難滿足，BBR的實作可以看出，其PacingRate的計算是實時的，所得到的結果是一個即時的正确的速率，并沒有受到RTT的限制。
既然BBR要以測量而不是假設為準，那麼算法執行地越平滑越好。記不記得當初BIC進化到CUBIC的時候，就是去除了RTT的限制，最終CUBIC放棄了BIC二分折線，CUBIC拟合了一條平滑的三次曲線，與RTT徹底無關了，進而解決了RTT公平性問題！唉，日光之下，并無新事。明天将重播今天的故事…
浙江溫州皮鞋濕！