機率論第4記：二維随機變量

通常随機實驗，建立在樣本空間上的随機變量不會隻有一個，比如研究一個家庭的生活水準，不但觀察月收入，還要觀察月支出。

一般，如果X，Y是定義在樣本空間S上的随機變量，那麼（X，Y）稱為二維随機變量（或稱二維随機向量），類似可以定義n維随機變量。

定義：設二維随機變量(X,Y)所有可能的取值為(xi,yj),(i,j=1,2,3…)；（X，Y）取（xi,yj）的機率為pij，稱

P{X=xi,Y=yj}=pij為二維随機變量(X,Y)的分布律，也稱為X和Y的聯合分布律。

顯然pij>=0

∑ 1 ∞ ∑ 1 ∞ p i j = 1 \sum_{1}^{∞}\sum_{1}^{∞}p_{ij}=1 ∑1∞​∑1∞​pij​=1

同理，對于連續型随機變量，有 ∬ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \iint_{-∞}^{∞}{f(x,y)dxdy}=1 ∬−∞∞​f(x,y)dxdy=1

(X,Y)落在某一區域G的機率P{(X,Y)∈G}= ∬ G f ( x , y ) d x d y \iint_{G}^{}{f(x,y)dxdy} ∬G​f(x,y)dxdy

同理，可以定義二維連續随機變量的分布函數

F(x,y)=P{(X≦x)∩(Y≦y)}=P{X≦x,Y≦y}稱作二維随機變量的分布函數

F(x,y)值描述的是二維随機變量落在下圖陰影區的機率：

上面講的是聯合分布，對于二維随機變量，自然也會有X，Y各自單獨的分布，稱為邊緣分布。

對于離散型随機變量，由于可以看作一個矩陣：如圖：

Y／X	y1	y2	y3	…	yn
x1	p11	p12	p13	…	p1n
x2	p21	p22	p23	…	p2n
x3	p31	p32	p33	…	p3n
…	…	…	…	…	…
xi	pi1	pi2	pi3	…	pin
…	…	…	…	…	…
xm	pm1	pm2	pm3	…	pmn

很顯然，單純研究X＝xi時候，P{X=xi}=pi1+pi2+pi3+…+pim= ∑ j = 1 m p i j \sum_{j=1}^{m}p_{ij} ∑j=1m​pij​

同理推出：

P{Y=yj}=p1j+p2j+p3j+…+pnj= ∑ i = 1 n p i j \sum_{i=1}^{n}p_{ij} ∑i=1n​pij​

二維連續性随機變量也類似，隻不過連加變成積分而已。對于P{X=xi}是對y積分，P{Y=yj}是對x積分。比如，已知（X，Y）是連續型随機二維變量，而且其機率密度函數為f(x)，求X在［a,b］區間的機率，計算公式為:

∫ a b [ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y ] d x \int_{a}^{b}[\int_{-∞}^{∞} f(x,y)dy]dx ∫ab​[∫−∞∞​f(x,y)dy]dx

二維随機變量的條件分布

二維随機變量的條件分布從機率的條件分布而來，研究的是當xi或者yj已知的條件下，yj或xi的分布規律，借助機率的條件分布表達式，可以寫出形如下面的二維随機變量條件分布表達式：

P{Y=yj|X=xi}= P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } ( j = 1 , 2 , 3... ) \frac{P\left \{ X=x_i,Y=y_j\right \}}{P\left \{ X=x_i \right \}} \quad \quad (j=1,2,3...) P{X=xi​}P{X=xi​,Y=yj​}​(j=1,2,3...)

以上公式描述為：設（X，Y）的機率密度為f(x,y)，邊緣機率密度分别為fx(x)和fy(y)，則條件機率密度fY|X(y|x)= f ( x , y ) f x ( x ) \frac{f(x,y)}{f_{x}(x)} fx​(x)f(x,y)​，也即：f(x,y)=fx(x)*fY|X(y|x)=fy(y)*fX|Y(x|y)

上面的公式推導原理如下：

對于離散型随機變量，我們可以計算X=xi時候yj的機率，但是對于連續性随機變量，無論對于xi還是yj，由于積分都是0（由于是某一個點，積分區間是0，是以積分也是0）不是直接套用離散型的公式，但是借助微分和極限的方法，我們可以如下求近似值：P(a≦Y≦b,x≦X≦x+ε)ε→0= P ( x ⩽ X ⩽ x + ε , a ⩽ Y ⩽ b ) P { x ⩽ X ⩽ x + ε } \frac{P\left ( x\leqslant X\leqslant x+\varepsilon ,a\leqslant Y\leqslant b\right )}{P\left \{ x\leqslant X\leqslant x+\varepsilon\right \}} P{x⩽X⩽x+ε}P(x⩽X⩽x+ε,a⩽Y⩽b)​=$$

公式編輯好麻煩好累啊。手寫看圖吧：

上圖中的F稱為已知X=x條件下Y的條件分布函數

我們可以推出FY|X(y|x)= ∫ − ∞ x f Y ∣ X ( y ∣ x ) d y \int_{-\infty }^{x}{f_{Y|X} \left ( y|x \right )}d_y ∫−∞x​fY∣X​(y∣x)dy​

FY|X(y|x)=fy|x(y|x)對于y積分