Nim取石子問題

取石子問題

有一種很有意思的遊戲，就是有物體若幹堆，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個人輪流從堆中取物體若幹，規定最後取光物體者取勝。這是我國民間很古老的一個遊戲，别看這遊戲極其簡單，卻蘊含着深刻的數學原理。下面我們來分析一下要如何才能夠取勝。 （一）巴什博奕（Bash Game）：隻有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取一個，最多取m個。最後取光者得勝。     顯然，如果n=m+1，那麼由于一次最多隻能取m個，是以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。是以我們發現了如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r為任意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s個物品，如果後取者拿走k（≤m)個，那麼先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最後獲勝。     這個遊戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100者勝。 （二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若幹個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。     這種情況下是頗為複雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數量并稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。     可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k，奇異局勢有 如下三條性質：     1。任何自然數都包含在一個且僅有一個奇異局勢中。     由于ak是未在前面出現過的最小自然數，是以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。是以性質1。成立。     2。任意操作都可将奇異局勢變為非奇異局勢。     事實上，若隻改變奇異局勢（ak，bk）的某一個分量，那麼另一個分量不可能在其他奇異局勢中，是以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由于其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，是以也是非奇異局勢。     3。采用适當的方法，可以将非奇異局勢變為奇異局勢。     假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了奇異局勢（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那麼，取走b  - bk個物體，即變為奇異局勢；如果 a = ak ，  b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變為奇異局勢（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多餘的數量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）,從第二堆裡面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆裡面拿走 b - aj 即可。     從如上性質可知，兩個人如果都采用正确操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。     那麼任給一個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：     ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k  （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函數) 奇妙的是其中出現了黃金分割數（1+√5）/2 = 1。618...,是以,由ak，bk組成的矩形近似為黃金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那麼a = aj，bj = aj + j，若不等于，那麼a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。 （三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若幹個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。     這種情況最有意思，它與二進制有密切關系，我們用（a，b，c）表示某種局勢，首先（0，0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（0，n，n），隻要與對手拿走一樣多的物品，最後都将導緻（0，0，0）。仔細分析一下，（1，2，3）也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變為（0，n，n）的情形。     計算機算法裡面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運算，我們用符号（+）表示這種運算。這種運算和一般加法不同的一點是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的結果： 1 =二進制01 2 =二進制10 3 =二進制11 （+） ——————— 0 =二進制00 （注意不進位）     對于奇異局勢（0，n，n）也一樣，結果也是0。     任何奇異局勢（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。 如果我們面對的是一個非奇異局勢（a，b，c），要如何變為奇異局勢呢？假設 a < b< c,我們隻要将 c 變為 a（+）b,即可,因為有如下的運算結果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 變為a（+）b，隻要從 c中減去 c-（a（+）b）即可。     例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，是以從39中拿走12個物體即可達到奇異局勢（14，21，27）。     例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，是以從121中拿走19個物品就形成了奇異局勢（55，81，102）。     例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，從58中拿走10個，變為（29，45，48）。     例4。我們來實際進行一盤比賽看看：          甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢          乙:(1,8,9)->(1,8,4)          甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢          乙:(1,5,4)->(1,4,4)          甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢          乙:(0,4,4)->(0,4,2)          甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢          乙:(0,2,2)->(0,2,1)          甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢          乙:(0,1,1)->(0,1,0)          甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢          甲勝。