求隐函數二階導數
2.4 高階導數 一、顯函數高階導數 二、隐函數的二階導數 三、參數方程确定的函數的二階導數 四、二階導數的力學意義 五、 内容小結 作業 * 主要内容: 1.顯函數高階導數. 2.隐函數的二階導數. 3.參數方程确定的函數的二階導數. 4.二階導數的力學意義. 如果函數 y=f(x) 的導數 仍然是x的 可導函數. 則把 的導數叫做函數 y=f(x) 即 類似地，二階導數 的導數叫做函數 y=f(x)的三階導數，記作 即 的二階導數，記作 一般地,函數y=f(x)的(n-1)階導數的導數叫做 y=f(x) 的 n 階導數. 記作 即 把函數 y=f(x) 的導數 叫做函數y=f(x)的一階導數. 把二階及二階以上的導數統稱為高階導數． 例１ 解 已知 解 例２ 求函數的n導數時，逐次求出一階，二階，三階導數， 從中發現，總結規律，求出n階導數的一般表達式． 求函數 的n階導數. 解 特殊地， 的 n 階導數. 一般地，可得 例３ 求正弦函數的n階導數. 解 一般地，可得 用類似方法，可得 例４ 求函數 的n階導數. 解 一般地，可得 即 例５ 舉例說明求隐函數的二階導數的方法． 對方程兩邊關于x求導,得 兩邊再求導，得 将 代入上式得 說明： 求隐函數的二階導數，要先求出隐函數的一階導數， 在一階導數表達式的兩邊再對x求導數， 例6 解 把求出的一階表達式代入二階導數的表達式． 由參數方程 确定的函數 的導數公式為 參數方程确定的函數的二階導數為： 設 解 例８ 求參數方程 确定的函數的二階導數． 解 代入公式得 例７ 計算由擺線的參數方程 确定的 的二階導數． 函數 解 例９ 設物體作變速直線運動，運動方程為 那麼它的瞬時度為 若速度v仍是時間 t 的函數，我們可以求速度v對時間t的變化率： ，在力學中把它叫做物體在給定的 時刻加速度，記作 也就是說，物體加速度 是路程 對時間t的二階導數 , 即 這就是二階導數的力學意義． 設某質點作直線運動,其運動方程為 求該質點在 t=3 時的加速度. 解 故 已知物體的運動方程為 是常數， 求物體運動的加速度． 解 例10 例11 一 顯函數高階導數 逐次求導，從中發現，總結規律 二 隐函數的二階導數 求隐函數的二階導數，先求出一階導數， 在一階導數表達式的兩邊再對 x 求導數， 隐函數的導數的表達式中隻能有 x, y 而不能保留 三 參數方程确定的函數的二階導數 *