數論 —— 高斯記号（Gauss mark）

定義

數學上，高斯記号（Gauss mark）是指對取整符号和取小符号的統稱，用于數論等領域。

• 設 x ∈ R x \in \textbf{R} x∈R，用 [ x ] [x] [x] 表示不超過 x x x 的最大整數。也可記作 [ x ] [x] [x]。
• 設 x ∈ R x \in \textbf{R} x∈R，用 { x } \{x\} {x} 表示 x x x 的非負純小數，即 { x } = x － [ x ] \{x\}=x－[x] {x}=x－[x]。

例如

• [1]=1
• [0]=0
• [-1]=-1
• [-1.2]=-2
• {1.5}=0.5
• {-1.5}=0.5
• {-1.2}=0.8

性質

• 對于任意實數 x，x=[x]+{x}
• x-1<[x]≤x<[x]+1
• [n+x]=n+[x]，n 為整數
• [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1

例題

解方程 x + 2 { x } = 3 [ x ] x+2\{x\}=3[x] x+2{x}=3[x]

思路

使用定義 x=[x]+{x}

解題

根據定義 x=[x]+{x}，帶入原方程變為 [x]+3{x}=3[x]

2[x]=3{x}

∵ 0 ≤ { x } < 1 \because 0≤\{x\}<1 ∵0≤{x}<1

∴ 0 ≤ 3 { x } < 3 \therefore 0≤3\{x\}<3 ∴0≤3{x}<3

∵ [ x ] \because [x] ∵[x] 一定是一個整數。

∴ 3 { x } = 0 , 1 , 2 \therefore 3\{x\}=0,1,2 ∴3{x}=0,1,2

∵ 2 [ x ] \because 2[x] ∵2[x] 一定是一個偶數。

∴ 3 { x } = 0 , 2 \therefore 3\{x\}=0,2 ∴3{x}=0,2

帶入原式進行讨論。

• 當 3 { x } = 0 3\{x\}=0 3{x}=0 的時候， { x } = 0 \{x\}=0 {x}=0，對應 [ x ] = 0 [x]=0 [x]=0，即 x = 0 x=0 x=0。
• 當 3 { x } = 2 3\{x\}=2 3{x}=2 的時候， { x } = 2 3 \{x\}=\frac{2}{3} {x}=32​，對應 [ x ] = 1 [x]=1 [x]=1，即 x = 5 3 x=\frac{5}{3} x=35​。

解方程 [ x ] { x } + x = 2 { x } + 10 [x]\{x\}+x=2\{x\}+10 [x]{x}+x=2{x}+10

思路

根據性質，可得 0 ≤ { x } < 1 0≤\{x\}<1 0≤{x}<1。

我們可以将方程變成 { x } = . . . \{x\}=... {x}=... 形式。

解題

根據定義 x=[x]+{x}，帶入原方程變為 [x]{x}+[x]+{x}=2{x}+10

合并同類項

[x]{x}-{x}=10-[x]

{x}([x]-1)=10-[x]

{ x } = 10 − [ x ] [ x ] − 1 \{x\} = \frac{10-[x]}{[x]-1} {x}=[x]−110−[x]​

∵ 0 ≤ { x } < 1 \because 0≤\{x\}<1 ∵0≤{x}<1

∴ 0 ≤ 10 − [ x ] [ x ] − 1 < 1 \therefore 0≤\frac{10-[x]}{[x]-1}<1 ∴0≤[x]−110−[x]​<1

由于分子分母都含有 [ x ] [x] [x]，是以需要對分母進行配方。

10 − [ x ] [ x ] − 1 = 9 + 1 − [ x ] [ x ] − 1 = 9 − ( [ x ] − 1 ) [ x ] − 1 \frac{10-[x]}{[x]-1}=\frac{9+1-[x]}{[x]-1}=\frac{9-([x]-1)}{[x]-1} [x]−110−[x]​=[x]−19+1−[x]​=[x]−19−([x]−1)​

0 ≤ 9 − ( [ x ] − 1 ) [ x ] − 1 < 1 0≤\frac{9-([x]-1)}{[x]-1}<1 0≤[x]−19−([x]−1)​<1

0 ≤ 9 [ x ] − 1 − 1 < 1 0≤\frac{9}{[x]-1}-1<1 0≤[x]−19​−1<1

1 ≤ 9 [ x ] − 1 < 2 1≤\frac{9}{[x]-1}<2 1≤[x]−19​<2

1 ≥ [ x ] − 1 9 > 1 2 1\ge \frac{[x]-1}{9}>\frac{1}{2} 1≥9[x]−1​>21​

9 ≥ [ x ] − 1 > 4.5 9 \ge [x]-1 > 4.5 9≥[x]−1>4.5

10 ≥ [ x ] > 5.5 10 \ge [x] > 5.5 10≥[x]>5.5

∴ [ x ] = 6 , 7 , 8 , 9 , 10 \therefore [x]=6,7,8,9,10 ∴[x]=6,7,8,9,10

帶入原式進行讨論。

• 當 [ x ] = 6 [x]=6 [x]=6 時候，原方程為 x = 10 − 6 6 − 1 = 4 5 {x}=\frac{10-6}{6-1}=\frac{4}{5} x=6−110−6​=54​，即 x = 6.8 x=6.8 x=6.8。
• 當 [ x ] = 7 [x]=7 [x]=7 時候，原方程為 x = ( 10 − 7 ) / ( 7 − 1 ) = 3 / 6 {x}=(10-7)/(7-1)=3/6 x=(10−7)/(7−1)=3/6，即 x = 7.5 x=7.5 x=7.5。
• 當 [ x ] = 8 [x]=8 [x]=8 時候，原方程為 x = ( 10 − 8 ) / ( 8 − 1 ) = 2 / 7 {x}=(10-8)/(8-1)=2/7 x=(10−8)/(8−1)=2/7，即 x = 8 + 2 / 7 x=8+2/7 x=8+2/7。
• 當 [ x ] = 9 [x]=9 [x]=9 時候，原方程為 x = ( 10 − 9 ) / ( 9 − 1 ) = 1 / 8 {x}=(10-9)/(9-1)=1/8 x=(10−9)/(9−1)=1/8，即 x = 9.125 x=9.125 x=9.125。
• 當 [ x ] = 10 [x]=10 [x]=10 時候，原方程為 x = ( 10 − 10 ) / ( 10 − 1 ) = 0 {x}=(10-10)/(10-1)=0 x=(10−10)/(10−1)=0，即 x = 10 x=10 x=10。

關于 x 的方程 [ x 2 ] + [ x 3 ] = k [\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]=k [2x​]+[3x​]=k 無解的自然數 k 排成一行，其前 2018 個 k 值之和等于多少？

思路

看到 x 2 \frac{x}{2} 2x​ 和 x 3 \frac{x}{3} 3x​，自然想到了周期問題。

解題

2 2 2 和 3 3 3 的最小公倍數為 2 × 3 = 6 2 \times 3=6 2×3=6。是以對周期 6 6 6 進行枚舉。

為了讓大家更容易看出周期問題的套路，我們對 0 ∼ 11 0 \sim 11 0∼11 進行枚舉。

x	1	2	3	4	5
k = [ x 2 ] + [ x 3 ] k=[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}] k=[2x​]+[3x​]	1	2	3	3
x	6	7	8	9	10	11
k = [ x 2 ] + [ x 3 ] k=[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}] k=[2x​]+[3x​]	5	5	6	7	8	8

如上圖。

• x = 0 x=0 x=0 與 x = 6 x=6 x=6 是同周期的。
• x = 1 x=1 x=1 與 x = 7 x=7 x=7 是同周期的。
• . . . ... ...
• x = 5 x=5 x=5 與 x = 11 x=11 x=11 是同周期的。

這樣，我們可以輕易發現周期的規律。

• k = 5 × n + r ,   r ∈ [ 0 , 1 , 2 , 3 ] k=5\times n+r,\ r \in [0,1,2,3] k=5×n+r, r∈[0,1,2,3] 方程有解。
• k = 5 × n + r ,   r ∈ [ 4 ] k=5\times n+r,\ r \in [4] k=5×n+r, r∈[4] 方程無解。

這樣，我們可以構造出所有解的序列為 k = 5 × n + 4 ,   n ∈ [ 0 , 1 , 2 , . . . ] k=5 \times n+4,\ n \in [0,1,2,...] k=5×n+4, n∈[0,1,2,...]。

這樣前 2018 2018 2018 個 k k k 序列即為 4 , 9 , 14 , . . . , 5 × 2017 + 4 = 10 , 089 4,9,14,...,5 \times 2017+4=10,089 4,9,14,...,5×2017+4=10,089。

本題答案即為 ∑ S = 4 + 9 + 14 + . . . + 10089 \sum S=4+9+14+...+10089 ∑S=4+9+14+...+10089。

根據等差數列求和公式可得，首項為 4 4 4，公差為 d = 5 d=5 d=5，項數為 2018 2018 2018。

∑ S = 4 × 2018 + 2018 × 2017 × 5 2 = 10 , 183 , 837 \sum S=4 \times 2018+\frac{2018 \times 2017 \times 5}{2}=10,183,837 ∑S=4×2018+22018×2017×5​=10,183,837