LeetCode刷題——除數博弈

題目

愛麗絲和鮑勃一起玩遊戲，他們輪流行動。愛麗絲先手開局。

最初，黑闆上有一個數字 N 。在每個玩家的回合，玩家需要執行以下操作：

• 選出任一 x，滿足 0 < x < N 且 N % x == 0 。

• 用 N - x 替換黑闆上的數字 N 。

  如果玩家無法執行這些操作，就會輸掉遊戲。

隻有在愛麗絲在遊戲中取得勝利時才傳回 True，否則傳回 false。假設兩個玩家都以最佳狀态參與遊戲。

示例 1：

輸入：2
輸出：true
解釋：愛麗絲選擇 1，鮑勃無法進行操作。      

示例 2：

輸入：3
輸出：false
解釋：愛麗絲選擇 1，鮑勃也選擇 1，然後愛麗絲無法進行操作。      

來源：力扣（LeetCode）

連結：https://leetcode-cn.com/problems/divisor-game

思路

這個題可以用歸納法和動态規劃法來接。先看下動态規劃法。

動态規劃

将所有的小于等于 N (包含N)的解都找出來，可以基于前面的解來推後面的。

當​

​dp[i]==False​

​​，說明愛麗絲會輸，反之說明會赢。要想愛麗絲赢，就要找到一個約數，使得愛麗絲取時為​

​True​

​​，并且重新整理後的數為​

​False​

​。

class Solution(object):
    def divisorGame(self, N):
        """
        :type N: int
        :rtype: bool
        """
        dp = {} #True代表愛麗絲赢，False代表愛麗絲輸
        dp[2] = True 
        dp[1] = False
        import math
        for i in range(3,N+1):#需要包含N的情況
            dp[i] = False
            for j in range(1,int(math.sqrt(i))): #限定j的取值範圍
                if i % j == 0 and dp[i - j] == False: # 如果 選出任一j,滿足 i % j == 0,且下一個數字為False
                    dp[i] = True #找得到這麼一個j，說明i是可以獲勝的
                    break 
        return dp[N]      

歸納法

1. 假設​

   ​N = 1​

   ​​，愛麗絲無解(選出的值​

   ​x​

   ​​必須​

   ​0 < x < N​

   ​)，直接失敗；
2. 假設​

   ​N = 2​

   ​​，愛麗絲可以選擇​

   ​x = 1​

   ​​，鮑勃​

   ​N = 2 - 1 = 1​

   ​，無解，愛麗絲獲勝；
3. 假設​

   ​N = 3​

   ​​，愛麗絲隻可以選擇​

   ​x=1​

   ​​，鮑勃​

   ​N = 3 - 1 = 2​

   ​​，參考上面​

   ​N=2​

   ​，此時鮑勃獲勝
4. 假設​

   ​N = 4​

   ​​，愛麗絲可以選擇​

   ​x = 1​

   ​​ 使得鮑勃遇到​

   ​N = 3​

   ​ 的情況，參考上面，則愛麗絲獲勝；

class Solution(object):
    def divisorGame(self,int N):
        return N % 2 == 0