來源：
作者：古月居
【複合擺線軌迹】
在四足機器人的研究中，有一個很關鍵的問題，就是如何減少足端在觸地瞬間的沖擊，避免把機器人把自己給蹬倒了？這時候就需要一個合理的足端軌迹規劃。本篇将會介紹幾種足端軌迹。
本文将對四足機器人的足端軌迹進行規劃。将數學中的複合擺線和多項式曲線引入到足端軌迹的規劃中，根據零沖擊原則[2]，規劃出 3 條滿足要求的足端軌迹，包括：
- 複合擺線軌迹
- 八次多項式軌迹
- 分段五次多項式軌迹
本篇先介紹第一個
該軌迹是擺線方程的延伸，我們先來看什麼是擺線。
-1擺線-
擺線，又稱旋輪線、圓滾線，在數學中，擺線（Cycloid）被定義為，一個圓沿一條直線運動時，圓邊界上一定點所形成的軌迹。它是一般旋輪線的一種。
看以下動圖就知道擺線是如何來的：
紅色線即為擺線軌迹，總結成數學公式為：
-2足端軌迹限制方程-
為達到理想的步态，足端軌迹規劃需要滿足：
① 行進平穩、協調，無明顯的上下波動、左右搖晃和前後沖擊；
② 各關節沒有較大沖擊，特别是擺動相擡腿和落地瞬間實作零沖擊擡腿和落地軟
着陸；
③ 擺動腿跨步迅速，足端軌迹圓滑，關節速度和加速度平滑連續無畸點；
④ 避免足端與地面接觸時産生滑動，無擺動腿拖地現象。
規定在
，足端處于擺動相，在
，足端處于支撐相。設水準方向為 X 方向，豎直方向為 Y 方向，根據四足機器人足端運動位置的要求，可确定足端軌迹在水準方向(X 方向)和豎直方向(Y 方向)的位移方程有以下限制。
2.1 水準X方向
位置限制
速度限制
加速度限制
2.2 豎直Y方向
位置限制
速度限制
加速度限制
-3複合擺線軌迹-
3.1 擺動相軌迹設計
基于第二節中提到的原則，文獻[1]中提出了一種基于複合擺線形式的軌迹規劃方法，并在文獻[2]中得到了驗證和使用。針對機器人足底與地面接觸時會産生滑動和行走過程中拖地問題，文獻[2]對複合擺線規劃方法提出了修改，修改後的擺動腿的步态規劃軌迹定義為：
其中S為步幅， H為擡腿高度，
為擺動相周期。現在我們來看提下它的圖像，設定S = 100， H = 30， 周期T=2。
我們用python繪制該軌迹的圖像如下：
為了更好地研究該軌迹的特性，我們接下來依次看x，y關于時間的位置，速度，加速度。
3.2 軌迹改進
從表達式上分析，該軌迹的加速度方程是餘弦函數的倍數，在 t=0 和 t=Tm時刻會出現加速度跳變，根據
，這就導緻了擡腿的瞬間要求産生較大的接觸力。
從加速度圖像亦能說明這一點。針對這一問題，文獻[5]對 y 方向的位移方程提出了以下修改。
由于擺動腿在 y 軸運動需要先擡腿再落腿，借鑒 x 軸正弦方式運動的方法求解 y 軸位移曲線
先從加速度函數入手，我們設計成如下形式：
對上式進行積分求得速度函數：
然後根據速度限制
以及
，求出
對速度函數進行積分，求得位移函數為：
而根據軌迹限制
，
我們無法求解出參數A和
，是以通過分段函數的方法求y軸方向的曲線方程：
為了确定n的取值，我們來看看n取不同值時的速度圖像取T=2，H=1，S= 1，T=2。
可以看出，當n越大時，y方向上的速度變化就越頻繁，這可能會導緻系統能耗的增加。
再來看位移圖像：
從位移圖像來看，隻有當n取4時，軌迹才是平滑的。是以我們可以确定軌迹的最終形式為：
其中
我們取H=30, S=100, T=2來驗證上式：
這裡我們發現速度圖像與确定n值時給出的不一緻，那是因為我們在y的軌迹方程中使用了分段函數，對
部分進行了取反，是以該部分的速度和加速度圖像是沿橫軸進行了翻轉的。
3.3 支撐相足端軌迹
相比于擺動相的足端軌迹，支撐相的設計就顯得稍微簡單。首先我們要知道兩點：
a、支撐相水準方向上的位移曲線與擺動相的關于t=
對稱。
b、豎直方向的位移适終為0
基于這兩點，我們可以設計出如下曲線：
3.4 周期軌迹
定義步态周期為T，支撐相，擺動相周期均為
，則
關于周期：擺動相
，支撐相
的持續時間不一定要設為一緻，可根據控制器模型實時動态調節。這種情況下T =
我們對時間進行周期化處理：
其中，
為系統時間，
為第i條腿的軌迹規劃時間，以LF腿的相位為初始值，則
為各腿相位落後于LF腿的時間與步态周期的比值。
--總結--
通過對軌迹方程的改進及其圖像的分析，我們最終得到了一個平滑，且沖擊較小的複合擺線軌迹，盡管這裡給出完整的周期軌迹，但是解決方案如果是結合MIT控制器的話，可以不考慮支撐相，即周期控制部分，僅考慮擺動相軌迹。
【參考文獻】
[1] SAKAKIBARA Y，KAN K，HOSODA Y，et al. Foot trajectory for a quadruped walking machine[C] // Proceedings IROS ‘90. IEEE International Workshop on，July 3-6，1990，Ibaraki，Japan. New York，NY，USA：IEEE，1990：315-322.
[2] 何冬青，馬培荪. 四足機器人動态步行仿真及步行穩定性分析[J]. 計算機仿真，2005(2)：146-149. HE Dongqing ， MA Peisun. Simulation of dynamic walking of quadruped robot and analysis of walking stability[J]. Computer Simulation，2005(2)：146-149.
[3] 李贻斌，李彬，榮學文，等. 液壓驅動四足仿生機器人的結構設計和步态規劃[J]. 山東大學學報，2011(5)：32-36，45. LI Yibin，LI Bin，RONG Xuewen，et al. Mechanical design and gait planning of a hydraulically actuated quadruped bionic robot[J]. Journal of Shandong University，2011(5)：32-36，45.
<完>