85相似标準形06——初等因子、初等因子與不變因子的求法

文章目錄

• • 初等因子的概念
  • 初等因子與不變因子的求法
  • 參考

1. 80相似标準形01——lambda矩陣
2. 81相似标準形02——初等變換、初等矩陣、相抵 (等價)、相抵标準形
3. 82相似标準形03——不變因子、行列式因子、相抵标準形的唯一性、用求行列式因子法求标準形
4. 83相似标準形04——相似與λ-矩陣的相抵
5. 84相似标準形05——有理标準形的不變因子、矩陣的有理标準形
6. 85相似标準形06——初等因子、初等因子與不變因子的求法
7. 86相似标準形07——若爾當(Jordan)标準形
8. 87相似标準形08——Jordan标準形
9. 88相似标準形09——JJordan-Chevalley分解、幂零矩陣與幂零變換、幂零矩陣的判别、中國剩餘定理、可換線性變換的性質
10. 89相似标準形10——J循環不變子空間

初等因子的概念

A ∈ F n × n ⇒ λ I − A ⇒  相抵标準形  ( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) ⋱ d n ( λ ) ) ⇒  Frobenius有理标準形  F = ( F 1 ⋱ F k ) \begin{aligned} A \in F^{n \times n} \Rightarrow \lambda I-A \Rightarrow & \text { 相抵标準形 }\left(\begin{array}{lll} d_{1}(\lambda) & & & \\ & d_{2}(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_{n}(\lambda) \end{array}\right) \\ & \Rightarrow \text { Frobenius有理标準形 } \boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{F}_{1} & & \\ & & \ddots & \\ & && \boldsymbol{F}_{k} \end{array}\right) \end{aligned} A∈Fn×n⇒λI−A⇒​ 相抵标準形 ⎝⎜⎜⎛​d1​(λ)​d2​(λ)​⋱​dn​(λ)​⎠⎟⎟⎞​⇒ Frobenius有理标準形 F=⎝⎛​F1​​​⋱​Fk​​⎠⎞​​

缺點：不夠“細緻”

原因: 不變因子 d i ( λ ) \boldsymbol{d}_{i}(\lambda) di​(λ) 的次數過高導緻 Frobenius塊 的階較大

新思路:在複數域上對 d i ( λ ) \boldsymbol{d}_{i}(\lambda) di​(λ) 分解或可得到更佳結果?

定 義 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定義1} }} 定義1​ 把矩陣 A ( A( A( 或線性變換 A ) A) A) 的每個次數大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘積，所有這些一次因式方幂(相同的必須按出現的次數計算)稱為矩陣 A A A (或線性變換 A ) A) A) 的初等因子.

設 A A A 的相抵标準形為 diag ⁡ ( 1 , ⋯ 1 , d 1 ( λ ) , ⋯   , d r ( λ ) ) \operatorname{diag}\left(1, \cdots 1, d_{1}(\lambda), \cdots, d_{r}(\lambda)\right) diag(1,⋯1,d1​(λ),⋯,dr​(λ))，将 A A A 的不變因子均分解為首 1 不可約多項式之乘積

d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 ( λ − λ 2 ) e 12 ⋯ ( λ − λ t ) e t d 2 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 ( λ − λ 2 ) e 22 ⋯ ( λ − λ t ) e 2 t \begin{array}{l} d_{1}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{12}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{t}} \\ d_{2}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{22}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{2 t}} \end{array} d1​(λ)=(λ−λ1​)e11​(λ−λ2​)e12​⋯(λ−λt​)et​d2​(λ)=(λ−λ1​)e11​(λ−λ2​)e22​⋯(λ−λt​)e2t​​

d r ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e r 1 ( λ − λ 2 ) e r 2 ⋯ ( λ − λ t ) e n \boldsymbol{d}_{r}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{r 1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{r 2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{n}} dr​(λ)=(λ−λ1​)er1​(λ−λ2​)er2​⋯(λ−λt​)en​

其中 e i j ∈ Z ≥ 0 , 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ t e_{i j} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}, 1 \leq i \leq r, 1 \leq j \leq t eij​∈Z≥0​,1≤i≤r,1≤j≤t , ( λ − λ j ) e i j ( e i j > 0 ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{e_{i j}}\left(e_{i j}>0\right) (λ−λj​)eij​(eij​>0) 稱為 A A A 的初等因子

A A A 的初等因子組： A \quad A A 的全體初等因子所成集

注記： ( 1 ) A (1) A (1)A 的初等因子組由其不變因子組惟一确定;

(2) A A A 的不變因子組由其初等因子組 惟一确定:

在 A A A 的初等因子組中适當地添加一些 1 = ( λ − λ i ) 0 1=\left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{0} 1=(λ−λi​)0, 按降幂排列：

( λ − λ 1 ) e r , 1 , ( λ − λ 1 ) e r − 1 , 1 , ⋯   , ( λ − λ 1 ) e 1 , 1 ( λ − λ 2 ) e r , 2 , ( λ − λ 2 ) e r − 1 , 2 , , ⋯   , ( λ − λ 2 ) e 1 , 2 … … … … … … … … … ( λ − λ t ) e r , t , ( λ − λ t ) e r − 1 , t , ⋯   , ( λ − λ t ) e 1 , t \begin{array}{l} \left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_r, 1},\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{r-1,1}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{1,1}} \\ \left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_r, 2},\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{r-1,2},}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{1,2}} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_r, t},\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{r-1, t}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{1, t}} \end{array} (λ−λ1​)er​,1,(λ−λ1​)er−1,1​,⋯,(λ−λ1​)e1,1​(λ−λ2​)er​,2,(λ−λ2​)er−1,2​,,⋯,(λ−λ2​)e1,2​………………………(λ−λt​)er​,t,(λ−λt​)er−1,t​,⋯,(λ−λt​)e1,t​​

不變因子具有性質 d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ r − 1 ) d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)(1 \leq i \leq r-1) di​(λ)∣di+1​(λ)(1≤i≤r−1)

令 d i ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e i 1 ( λ − λ 2 ) e i , 2 ⋯ ( λ − λ t ) e i , t ⇒ d 1 ( λ ) , ⋯   , d r ( λ ) d_{i}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{i 1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{i, 2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{t}\right)^{e_{i, t}} \Rightarrow d_{1}(\lambda), \cdots, d_{r}(\lambda) di​(λ)=(λ−λ1​)ei1​(λ−λ2​)ei,2​⋯(λ−λt​)ei,t​⇒d1​(λ),⋯,dr​(λ) 是 A A A 的不變因子組

例 1 \Large{\color{violet}{例1}} 例1 設 12 級矩陣的不變因子是

1 , 1 , ⋯   , 1 ⏟ 9 個 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) ( λ 2 + 1 ) 2 \underbrace{1,1, \cdots, 1}_{9 個},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2}(\lambda+1),(\lambda-1)^{2}(\lambda+1)\left(\lambda^{2}+1\right)^{2} 9個

1,1,⋯,1​​,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2

按定義，它的初等因子有 7 個，即

( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ + 1 ) , ( λ + 1 ) , ( λ − i ) 2 , ( λ + i ) 2 (\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda+1),(\lambda+1),(\lambda-i)^{2},(\lambda+i)^{2} (λ−1)2,(λ−1)2,(λ−1)2,(λ+1),(λ+1),(λ−i)2,(λ+i)2

其中 ( λ − 1 ) 2 (\lambda-1)^{2} (λ−1)2 出現三次， λ + 1 \lambda+1 λ+1 出現二次.

現在進一步來說明不變因子和初等因子的關系.首先,假設 n n n 級矩陣 A A A 的不變因子 d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯   , d n ( λ ) d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda) d1​(λ),d2​(λ),⋯,dn​(λ) 為已知.将 d i ( λ ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) d_{i}(\lambda)(i=1,2, \cdots, n) di​(λ)(i=1,2,⋯,n) 分解成互不相同的一次因式方幕的乘積:

d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) k 11 ( λ − λ 2 ) k 12 ⋯ ( λ − λ r ) k 1 r , d 2 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) k 21 ( λ − λ 2 ) k 22 ⋯ ( λ − λ r ) k 2 r , … … … … … . . . d n ( λ ) = ( λ − λ 1 ) k n 1 ( λ − λ 2 ) k n 2 … ( λ − λ r ) k m , \begin{array}{l} d_{1}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{12}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{r}\right)^{k_{1 r}}, \\ d_{2}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{21}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{22}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{r}\right)^{k_{2 r}}, \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . \\ d_{n}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{n 1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{n 2}} \ldots\left(\lambda-\lambda_{r}\right)^{k_{m}}, \end{array} d1​(λ)=(λ−λ1​)k11​(λ−λ2​)k12​⋯(λ−λr​)k1r​,d2​(λ)=(λ−λ1​)k21​(λ−λ2​)k22​⋯(λ−λr​)k2r​,……………...dn​(λ)=(λ−λ1​)kn1​(λ−λ2​)kn2​…(λ−λr​)km​,​

則其中對應于 k i j ≥ 1 k_{i j} \geq 1 kij​≥1 的那些方幕

( λ − λ j ) k j ( k i j ≥ 1 ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{j}} \quad\left(k_{i j} \geq 1\right) (λ−λj​)kj​(kij​≥1)

就是 A A A 的全部初等因子.注意不變因子有一個除盡一個的性質，即

d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 ) , d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)(i=1,2, \cdots, n-1), di​(λ)∣di+1​(λ)(i=1,2,⋯,n−1),

進而

( λ − λ j ) k y ∣ ( λ − λ j ) k t + 1 , j ( i = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 ; j = 1 , 2 , ⋯   , r ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{y}} \mid\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{t+1, j}} \quad(i=1,2, \cdots, n-1 ; j=1,2, \cdots, r) (λ−λj​)ky​∣(λ−λj​)kt+1,j​(i=1,2,⋯,n−1;j=1,2,⋯,r)

是以在 d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯   , d n ( λ ) d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda) d1​(λ),d2​(λ),⋯,dn​(λ) 的分解式中，屬于同一個一次因式的方幂的指數有遞升的性質，即

k 1 j ≤ k 2 j ≤ ⋯ ≤ k n j ( j = 1 , 2 , ⋯   , r ) . k_{1 j} \leq k_{2 j} \leq \cdots \leq k_{n j} \quad(j=1,2, \cdots, r) . k1j​≤k2j​≤⋯≤knj​(j=1,2,⋯,r).

這說明，同一個一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出現在 d n ( λ ) d_{n}(\lambda) dn​(λ) 的分解中，方次次高的必定出現在 d n − 1 ( λ ) d_{n-1}(\lambda) dn−1​(λ) 的分解中.如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方幂的初等因子在不變因子的分解式中出現的位置是唯一确定的.

例 2 \Large{\color{violet}{例2}} 例2

( 1 ) (1) (1) 設 A 9 × 9 A_{9 \times 9} A9×9​ 的不變因子為

1 , 1 , ⋯   , 1 ⏟ 6個  , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) ( λ − 3 ) \underbrace{1,1, \cdots, 1}_{\text {6個 }},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2}(\lambda-2),(\lambda-1)^{2}(\lambda-2)(\lambda-3) 6個 

1,1,⋯,1​​,(λ−1)2,(λ−1)2(λ−2),(λ−1)2(λ−2)(λ−3)

⇒ A \Rightarrow A ⇒A 的初等因子組為: λ − 2 , λ − 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , λ − 3 \quad \lambda-2, \lambda-2,(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2}, \lambda-3 λ−2,λ−2,(λ−1)2,(λ−1)2,(λ−1)2,λ−3

(2) 設 A 9 × 9 A_{9 \times 9} A9×9​ 的初等因子組如上,添加一些 1 之後按降幕排 列:

λ − 2 , λ − 2 , 1 , 1 , ⋯   , 1 ⏟ 6 個 ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , 1 , ⋯   , 1 λ − 3 , 1 , 1 , 1 , ⋯   , 1 \begin{array}{llll} \lambda-2, \quad \lambda-2, \quad 1, \quad \underbrace{1, \cdots, 1}_{6 個} \\ (\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda-1)^{2}, \quad 1, \cdots, 1 \\ \lambda-3, \quad 1, \quad 1, \quad 1, \cdots, 1 \end{array} λ−2,λ−2,1,6個

1,⋯,1​​(λ−1)2,(λ−1)2,(λ−1)2,1,⋯,1λ−3,1,1,1,⋯,1​

⇒ A \Rightarrow A ⇒A 的不變因子為: ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) ( λ − 3 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) , ( λ − 1 ) 2 , 1 , 1 , ⋯   , 1 ⏟ 6個  (\lambda-1)^{2}(\lambda-2)(\lambda-3),(\lambda-1)^{2}(\lambda-2),(\lambda-1)^{2}, \underbrace{1,1, \cdots, 1}_{\text {6個 }} (λ−1)2(λ−2)(λ−3),(λ−1)2(λ−2),(λ−1)2,6個 

1,1,⋯,1​​,

初等因子與不變因子的求法

上面的分析給了我們一個如何從初等因子和矩陣的級數唯一地作出不變因子的方法。

設一個 n n n 級矩陣的全部初等因子為已知,在全部初等因子中将同一個二次因式 ( λ − λ j ) ( j = 1 , 2 , ⋯   , r ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)(j=1,2, \cdots, r) (λ−λj​)(j=1,2,⋯,r) 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且當這些初等因子的個數不足 n n n 時，就在後面補上适當個數的 1 ，使得湊成 n n n 個.設所得排列為

( λ − λ j ) k n j , ( λ − λ j ) k n − 1 , j , ⋯   , ( λ − λ j ) k 1 j , ( j = 1 , 2 , ⋯   , r ) \left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{n j}},\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{n-1, j}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{1 j}},(j=1,2, \cdots, r) (λ−λj​)knj​,(λ−λj​)kn−1,j​,⋯,(λ−λj​)k1j​,(j=1,2,⋯,r)

于是令

d i ( λ ) = ( λ − λ 1 ) k 11 ( λ − λ 2 ) k 12 ⋯ ( λ − λ r ) k r r ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) , d_{i}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{12}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{r}\right)^{k_{r_{r}}}(i=1,2, \cdots, n), di​(λ)=(λ−λ1​)k11​(λ−λ2​)k12​⋯(λ−λr​)krr​​(i=1,2,⋯,n),

則 d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯   , d n ( λ ) d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda) d1​(λ),d2​(λ),⋯,dn​(λ) 就是 A A A 的不變因子。

這也說明了這樣一個事實：如果兩個同級的數字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似.反之，如果兩個矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子.

綜上所述，即得

定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 1} }} 定理1​ 設 A , B ∈ F n × n A, B \in F^{n \times n} A,B∈Fn×n, 則 : A : A :A 與 B B B 在 F F F 上相似 ⇔ A \Leftrightarrow A ⇔A 與 B B B 有相同的初等因子組.

證明: A A A 與 B B B 在 F F F 上相似 ⇔ A \Leftrightarrow A ⇔A 與 B B B 在 C \mathbb{C} C 上相似

⇔ A \Leftrightarrow A ⇔A 與 B B B 有相同的不變因子

⇔ A \Leftrightarrow A ⇔A 與 B B B 有相同的初等因子組

初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而友善一些.

引 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{引理1 } }} 引理1​ 如果多項式 f 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda) f1​(λ),f2​(λ) 都與 g 1 ( λ ) , g 2 ( λ ) g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda) g1​(λ),g2​(λ) 互素，則.

( f 1 ( λ ) g 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) g 2 ( λ ) ) = ( f 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) ) ⋅ ( g 1 ( λ ) , g 2 ( λ ) ) \left(f_{1}(\lambda) g_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda) g_{2}(\lambda)\right)=\left(f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda)\right) \cdot\left(g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda)\right) (f1​(λ)g1​(λ),f2​(λ)g2​(λ))=(f1​(λ),f2​(λ))⋅(g1​(λ),g2​(λ))

證明: 令 d = ( f 1 g 1 , f 2 g 2 ) , d 1 = ( f 1 , f 2 ) , d 2 = ( g 1 , g 2 ) d=\left(f_{1} g_{1}, f_{2} g_{2}\right), d_{1}=\left(f_{1}, f_{2}\right), d_{2}=\left(g_{1}, g_{2}\right) d=(f1​g1​,f2​g2​),d1​=(f1​,f2​),d2​=(g1​,g2​)

⇒ d 1 ∣ d , d 2 ∣ d ( f 1 , g 1 ) = 1 ⇒ ( d 1 , d 2 ) = 1 } ⇒ d 1 d 2 ∣ d \left.\begin{array}{rl} & \Rightarrow d_{1}\left|d, d_{2}\right| d \\ \left(f_{1}, g_{1}\right)=1 & \Rightarrow\left(d_{1}, d_{2}\right)=1 \end{array}\right\} \Rightarrow d_{1} d_{2} \mid d (f1​,g1​)=1​⇒d1​∣d,d2​∣d⇒(d1​,d2​)=1​}⇒d1​d2​∣d

d = ( f 1 g 1 , f 2 g 2 ) ⇒ d ∣ f 1 g 1 \boldsymbol{d}=\left(\boldsymbol{f}_{1} \boldsymbol{g}_{1}, \boldsymbol{f}_{2} \boldsymbol{g}_{2}\right) \Rightarrow \boldsymbol{d} \mid \boldsymbol{f}_{1} \boldsymbol{g}_{1} d=(f1​g1​,f2​g2​)⇒d∣f1​g1​, 又 ( f 1 , g 1 ) = 1 \left(f_{1}, \boldsymbol{g}_{1}\right)=\mathbf{1} (f1​,g1​)=1, 可設 d = f g d=f g d=fg, 其中 f ∣ f 1 , g ∣ g 1 f\left|f_{1}, \boldsymbol{g}\right| \boldsymbol{g}_{1} f∣f1​,g∣g1​

f ∣ f 1 , ( f 1 , g 2 ) = 1 ⇒ ( f , g 2 ) = 1 d = f g ∣ f 2 g 2 ⇒ f ∣ f 2 g 2 } ⇒ f ∣ f 2 ⇒ f ∣ ( f 1 , f 2 ) = d 1  同理  g ∣ d 2 } ⇒ d = f g ∣ d 1 d 2 ⇒ d = d 1 d 2 ( ​ 首 1 ) ​ \begin{array}{rl} \left.\begin{array}{rl}\left.\begin{array}{rl} f \mid f_{1},\left(f_{1}, g_{2}\right)=1 \Rightarrow\left(f, g_{2}\right)=1 \\ \qquad d=f g\left|f_{2} g_{2} \Rightarrow f\right| f_{2} g_{2}\end{array}\right\} \Rightarrow f\left|f_{2} \Rightarrow f\right|\left(f_{1}, f_{2}\right)=d_{1} \\ \text { 同理 } g \mid d_{2} \end{array}\right\} \Rightarrow d=f g \mid d_{1} d_{2}\\ \Rightarrow d=d_{1} d_{2}(​ 首1 )​ \end{array} f∣f1​,(f1​,g2​)=1⇒(f,g2​)=1d=fg∣f2​g2​⇒f∣f2​g2​​}⇒f∣f2​⇒f∣(f1​,f2​)=d1​ 同理 g∣d2​​⎭⎬⎫​⇒d=fg∣d1​d2​⇒d=d1​d2​(​首1)​​

引 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{引理2 } }} 引理2​ 設

A ( λ ) = ∣ f 1 ( λ ) g 1 ( λ ) 0 0 f 2 ( λ ) g 2 ( λ ) ∣ B ( λ ) = ∣ f 2 ( λ ) g 1 ( λ ) 0 0 f 1 ( λ ) g 2 ( λ ) ∣ \begin{array}{l} A(\lambda)=\left|\begin{array}{cc} f_{1}(\lambda) g_{1}(\lambda) & 0 \\ 0 & f_{2}(\lambda) g_{2}(\lambda) \end{array}\right| \\ B(\lambda)=\left|\begin{array}{cc} f_{2}(\lambda) g_{1}(\lambda) & 0 \\ 0 & f_{1}(\lambda) g_{2}(\lambda) \end{array}\right| \end{array} A(λ)=∣∣∣∣​f1​(λ)g1​(λ)0​0f2​(λ)g2​(λ)​∣∣∣∣​B(λ)=∣∣∣∣​f2​(λ)g1​(λ)0​0f1​(λ)g2​(λ)​∣∣∣∣​​

如果多項式 f 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda) f1​(λ),f2​(λ) 都與 g 1 ( λ ) , g 2 ( λ ) g_{1}(\lambda), g_{2}(\lambda) g1​(λ),g2​(λ) 互素，則 A ( λ ) A(\lambda) A(λ) 和 B ( λ ) B(\lambda) B(λ) 相抵.

證明: 隻需證明兩個 λ \lambda λ -矩陣具有相同的 1,2 階行列式因子:

2 階行列式因子均為： f 1 f 2 g 1 g 2 f_{1} f_{2} g_{1} g_{2} f1​f2​g1​g2​

1階行列式因子分别為 ( f 1 g 1 , f 2 g 2 ) \left(f_{1} g_{1}, f_{2} g_{2}\right) (f1​g1​,f2​g2​) 與 ( f 2 g 1 , f 1 g 2 ) \left(f_{2} g_{1}, f_{1} g_{2}\right) (f2​g1​,f1​g2​)

引理1 ⇒ ( f 1 g 1 , f 2 g 2 ) = ( f 2 g 1 , f 1 g 2 ) \Rightarrow\left(f_{1} g_{1}, f_{2} g_{2}\right)=\left(f_{2} g_{1}, f_{1} g_{2}\right) ⇒(f1​g1​,f2​g2​)=(f2​g1​,f1​g2​)

抵标準形的唯一性定理4 ⇒ ( f 1 g 1 0 0 f 2 g 2 ) \Rightarrow\left(\begin{array}{cc}f_{1} g_{1} & 0 \\ 0 & f_{2} g_{2}\end{array}\right) ⇒(f1​g1​0​0f2​g2​​) 與 ( f 2 g 1 0 0 f 1 g 2 ) \left(\begin{array}{cc}f_{2} g_{1} & 0 \\ 0 & f_{1} g_{2}\end{array}\right) (f2​g1​0​0f1​g2​​) 相抵.

定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2 } }} 定理2​ 首先用初等變換化特征矩陣 λ E − A \lambda E-A λE−A 為對角形式，然後将主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘積，則所有這些一次因式的方幂(相同的按出現的次數計算)就是 A A A 的全部初等因子.

設 A ( λ ) = diag ⁡ ( d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯   , d n ( λ ) ) A(\lambda)=\operatorname{diag}\left(d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda)\right) A(λ)=diag(d1​(λ),d2​(λ),⋯,dn​(λ)),首 1 多項式 d i ( λ ) d_{i}(\lambda) di​(λ) 的标準分解式依次為:

d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 ( λ − λ 2 ) e 12 ⋯ ( λ − λ s ) e 1 s d 2 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 21 ( λ − λ 2 ) e 22 ⋯ ( λ − λ s ) e 2 s  其中  e i j ∈ Z ≥ 0 … … … … … … … … . . d n ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e n 1 ( λ − λ 2 ) e n 2 ⋯ ( λ − λ s ) e n s \begin{array}{l} d_{1}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{11}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{12}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{e_{1 s}} \\ d_{2}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{21}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{22}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{e_{2 s}} \quad \text { 其中 } e_{i j} \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \\ d_{n}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{e_{n 1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{e_{n 2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{e_{n s}} \end{array} d1​(λ)=(λ−λ1​)e11​(λ−λ2​)e12​⋯(λ−λs​)e1s​d2​(λ)=(λ−λ1​)e21​(λ−λ2​)e22​⋯(λ−λs​)e2s​ 其中 eij​∈Z≥0​……………………..dn​(λ)=(λ−λ1​)en1​(λ−λ2​)en2​⋯(λ−λs​)ens​​

⇒ { ( λ − λ j ) e i j ∣ e i j > 0 , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ s } \Rightarrow\left\{\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{e_{i j}} \mid e_{i j}>0,1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq s\right\} ⇒{(λ−λj​)eij​∣eij​>0,1≤i≤n,1≤j≤s} 是 A ( λ ) A(\lambda) A(λ) 的初等因子組

推 論 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{ 推論1 } }} 推論1​ 設 A ( λ ) = ( A 1 ( λ ) ⋱ A k ( λ ) ) A(\lambda)=\left(\begin{array}{ccc}A_{1}(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & A_{k}(\lambda)\end{array}\right) A(λ)=⎝⎛​A1​(λ)​⋱​Ak​(λ)​⎠⎞​, 那麼将 A i ( λ ) ( 1 ≤ i ≤ s ) A_{i}(\lambda)(1 \leq i \leq s) Ai​(λ)(1≤i≤s) 的初等因子組并在一起 ( ( ( 重複的計算其次數 )恰 得到 A ( λ ) A(\lambda) A(λ) 的初等因子組.

【證明】: 設 A i ( λ ) A_{i}(\lambda) Ai​(λ) 相抵于标準形 B i ( λ ) ⇒ A ( λ ) B_{i}(\lambda) \Rightarrow A(\lambda) Bi​(λ)⇒A(λ) 相抵于 B ( λ ) = ( B 1 ( λ ) ⋱ B k ( λ ) ) B(\lambda)=\left(\begin{array}{lll}B_{1}(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & B_{k}(\lambda)\end{array}\right) B(λ)=⎝⎛​B1​(λ)​⋱​Bk​(λ)​⎠⎞​

⇒ A i ( λ ) \Rightarrow A_{i}(\lambda) ⇒Ai​(λ) 的初等因子組即 B i ( λ ) B_{i}(\lambda) Bi​(λ) 的初等因子組

定理2 ⇒ A ( λ ) \Rightarrow A(\lambda) ⇒A(λ) 的初等因子組 即 B ( λ ) B(\lambda) B(λ) 的初等因子 組

恰為 A i ( λ ) A_{i}(\lambda) Ai​(λ) 的初等因子組并在一起所得.

參考

高等代數 電子科技大學

高等代數_安陽師範學院

《高等代數》（第五版）