目錄
泰勒級數
傅裡葉級數
歐拉公式
傅裡葉變換
在了解傅裡葉之前，首先來認識一下泰勒展開，他與傅裡葉級數有着相似的形式。
泰勒級數
高數中的泰勒展開要表達的含義是：初等函數可以通過多項式函數拟合。舉個栗子（
在x=0處的泰勒級數表示方法）：
于是對于函數f(x), 在
處展開的級數可以表示為（f(x)要滿足的具體條件不在此闡述）:
關于泰勒級數的推導，這裡不做詳細展開了。
傅裡葉級數
傅裡葉級數這個公式極其優美而強大，它的出現讓我們用不一樣的方式去看待世界。
傅裡葉級數利用正弦函數多項式來表示某一個具體的周期函數，正如下圖所示，黑色線條y=y1+y2+y3，y是周期函數，它可以由綠紅藍三個正弦函數疊加而成。
下面，我們正式引入傅裡葉級數的公式，對于任意的周期函數
,假定周期為2
，有：
那麼怎麼确定其中的參數
的值就變得至關重要了。
在求這些值之前，先引入三角函數系中的正交基：1， cosnx， sinnx，其中n=1, 2, 3 ....。線上性代數中，正交是指 ab = 0，而在函數中，規定了當兩個函數乘積的積分為零時，函數正交，對于三角函數系，有：
于是對于f(x)在
求積分，
是以
對之前等式的左右兩邊乘以cosnx，再在
上求積分，可以得到：
同理，左右同乘sinnx， 再在
上求積分，可以得到:
深入了解傅裡葉變換--FT
至此，傅裡葉級數中各項系數的求解基本已經解決了（沒有寫的特别仔細TuT，第一次編輯這麼多公式，然後有些公式對不齊，Latex編輯還不是很順手）。
歐拉公式
在進一步深入到傅裡葉變換之前，可以先了解一下歐拉公式（這個可以用泰勒公式推導）。
此公式可以利用對
以及
進行泰勒級數展開，求出來
會發現它就是
的泰勒級數展開式。當然，還有更加形象的推理，在此處我強推B站一位up主 對于歐拉公式的解釋，看到就是賺到。
傅裡葉變換
根據上述的歐拉公式，我們可以得到一下兩個變換， 即:
傅裡葉級數公式提過來，友善對照(這裡讨論更一般的f(x),即設定周期為2
)：
将
以及
帶入傅裡葉級數，得：
化簡得：
此處，我們注意到，n從1變到
的過程中，
與
是對稱的，此時，為了進一步簡化上式，作如下變換：
進而，我們考慮n從
變化到
，将公式進一步化簡：
再把公式提過來，友善對照：
進而求
的公式可以總結如下,參考了視訊傅裡葉推導：
綜上，
接下來，貼張圖，公式打得太累了（來自上面的那個連結）
再進一步變換，可以得到：
于是乎，我們的傅裡葉變換與逆變換公式分别為上圖的
與
。