高等代數 具有度量的線性空間(第10章)3 正交補,正交投影,正交變換,對稱變換

一.正交補與正交投影(10.3)

1.正交補

(1)概念:

注意: S S S本身不一定是線性空間/實内積空間 V V V的1個子空間,但 S ⊥ S^⊥ S⊥一定是線性空間/實内積空間 V V V的1個子空間

(2)性質:

定理1:設 U U U是實内積空間 V V V的1個有限維非零子空間,則 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=U⊕U⊥

推論1:若 V V V是歐幾裡得空間, U U U是 V V V的1個非平凡子空間,則從定理1得 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=U⊕U⊥,于是 U U U的1個标準正交基與 U ⊥ U^⊥ U⊥的1個标準正交基合起來是 V V V的1個标準正交基

2.正交投影

(1)概念:

(2)判定:

定理2:設 U U U是實内積空間 V V V的1個子空間,且 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=U⊕U⊥,則對于 α ∈ V , α 1 ∈ U α∈V,α_1∈U α∈V,α1​∈U是 α α α在 U U U上的正交投影的充要條件是: d ( α , α 1 ) ≤ d ( α , γ )   ( ∀ γ ∈ U ) ( 4 ) d(α,α_1)≤d(α,γ)\,(∀γ∈U)\qquad(4) d(α,α1​)≤d(α,γ)(∀γ∈U)(4)

3.最佳逼近元

(1)概念:

(2)逼近無限維實内積空間中的向量:

(3)通過最佳逼近元定義無限維子空間上的正交投影:

4.最小二乘解:

二.正交變換(10.4)

1.正交變換的概念:

注:限定 Ꭿ Ꭿ Ꭿ為滿射是為了保證 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在 V V V為無限維時也可逆,而 Ꭿ Ꭿ Ꭿ為單射可被推出,故無需說明

2.正交變換的性質

(1)關于度量的性質:

命題1:若 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是實内積空間 V V V上的正交變換,則 Ꭿ Ꭿ Ꭿ保持向量的長度不變, Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 V V V上的線性變換, Ꭿ Ꭿ Ꭿ是單射

性質1:正交變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ保持2個非零向量的夾角不變

性質2:正交變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ保持向量的正交性不變,即 α ⊥ β ⇔ Ꭿ α ⊥ Ꭿ β α⊥β⇔Ꭿα⊥Ꭿβ α⊥β⇔Ꭿα⊥Ꭿβ

性質3:正交變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ保持向量間的距離不變

(2)關于判定的性質:

命題2:實内積空間 V V V上的1個變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是正交變換當且僅當 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 V V V到自身的1個保距同構

推論1:實内積空間 V V V上的正交變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是可逆變換,并且其逆變換 Ꭿ − 1 Ꭿ^{-1} Ꭿ−1也是 V V V上的正交變換

命題3: n n n維歐幾裡得空間 V V V上的變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ如果保持向量的内積不變,則 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是正交變換

命題5: n n n維歐幾裡得空間 V V V上的線性變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是正交變換

  ⇔ Ꭿ \quad\,⇔Ꭿ ⇔Ꭿ把 V V V的标準正交基映成标準正交基

  ⇔ Ꭿ \quad\,⇔Ꭿ ⇔Ꭿ在 V V V的标準正交基下的矩陣 A A A是正交矩陣

(3)關于運算的性質:

命題4:實内積空間 V V V上2個正交變換的乘積還是正交變換

(4)其他性質:

命題6:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是實内積空間 V V V上的1個正交變換,如果 Ꭿ Ꭿ Ꭿ有特征值,那麼 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的特征值必為 ± 1 ±1 ±1

3.反射

(1)超平面:

(2)反射的概念:

(3)反射的性質:

命題7: n n n維歐幾裡得空間 V V V中,關于超平面 ⟨ η ⟩ ⊥ \langle η\rangle^⊥ ⟨η⟩⊥的反射是第2類的正交變換

4.正交補的性質:

命題8:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是實内積空間 V V V上的1個正交變換, W W W是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的1個有限維不變子空間,則 W ⊥ W^⊥ W⊥也是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不變子空間

5.正交變換的矩陣的最簡形式:

定理3:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 n n n維歐幾裡得空間 V V V上的1個正交變換,則 ∃ V ∃V ∃V的1個标準正交基,使得 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在這個基下的矩陣具有如下形式: d i a g { λ 1 . . . λ r , [ cos ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ] . . . [ cos ⁡ θ m − sin ⁡ θ m sin ⁡ θ m cos ⁡ θ m ] } ( 3 ) diag\{λ_1...λ_r,\left[\begin{matrix}\cosθ_1&-\sinθ_1\\\sinθ_1&\cosθ_1\end{matrix}\right]...\left[\begin{matrix}\cosθ_m&-\sinθ_m\\\sinθ_m&\cosθ_m\end{matrix}\right]\}\qquad(3) diag{λ1​...λr​,[cosθ1​sinθ1​​−sinθ1​cosθ1​​]...[cosθm​sinθm​​−sinθm​cosθm​​]}(3)

其中 λ i = ± 1   ( i = 1 , 2... r ) , 0 ≤ r ≤ n , 0 < θ j < π   ( j = 1 , 2... m ) , 0 ≤ m ≤ n 2 λ_i=±1\,(i=1,2...r),0≤r≤n,0<θ_j<\pi\,(j=1,2...m),0≤m≤\frac{n}{2} λi​=±1(i=1,2...r),0≤r≤n,0<θj​<π(j=1,2...m),0≤m≤2n​

推論1: n n n級正交矩陣一定正交相似于形如 ( 3 ) (3) (3)式的分塊對角矩陣

三.對稱變換(10.4)

1.概念:

2.性質:

命題9:實内積空間 V V V上的對稱變換一定是線性變換

命題10:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是實内積空間 V V V上的1個對稱變換,如果 W W W是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不變子空間,那麼 W ⊥ W^⊥ W⊥也是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不變子空間

3.判定:

命題11: n n n維歐幾裡得空間 V V V上的線性變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是對稱變換當且僅當 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在 V V V的任意1個标準正交基下的矩陣是對稱矩陣

4.對稱變換的矩陣的最簡形式:

定理4:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 n n n維歐幾裡得空間 V V V上的1個對稱變換,則 V V V中存在1個标準正交基,使得 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在這個基下的矩陣 A A A為對角矩陣