1是顯然的：
由于是線性變換，B0=0，Bx的結果當然還在X中。
2也是顯然的：
例如，實數域上的所有m×n矩陣構成一個線性空間，其中的所有對稱矩陣或奇異矩陣則是其子空間。
在三維空間中，任何過原點的平面都可以看作是一個線性子空間。平面上的點（向量）在加法和數乘運算下形成一個線性子空間。
線性算子是線性空間中的重要概念，表示線性變換。 線性算子是從一個線性空間到另一個線性空間的映射，保持加法和數乘運算。例如，矩陣乘法表示一種線性變換，将一個向量空間映射到另一個向量空間。
三維空間中任何過原點的平面都可以看作是三維空間的一個線性子空間。那麼由任意一個平面中的向量所張成的空間還是這個平面，經過線性變換以後還是屬于這個平面。
線性算子B的定義域為D(B)，值域為R(B)，這裡都是X。
是以，如果x∈D(B)，那麼Bx得到R(B)的一部分，BBx又得到D(B)的一部分，因為BBx可以通過B的作用再次應用到Bx上得到。由于D(B)和R(B)同時都是X，是以BBx确實屬于Bx的範圍内。
4也是顯然的。
假設L是B的特征值對應的特征向量張成的空間，是以L是B的不變子空間。
根據定義，一個子空間W是線性變換T的不變子空間，當且僅當對于任意向量x∈W，有T(x)∈W。
對于特征向量張成的空間L，設L是由特征向量x1, x2, ..., xn張成的空間，滿足B(xi) = λixi，其中λi是xi對應的特征值。對于任意向量α∈L，可以表示為α=c1x1+c2x2+...+cnxn，其中ci是常數。由于每個xi都是B的特征向量，有B(xi)=λixi，是以B(α)=B(c1x1+c2x2+...+cnxn)=c1λ1x1+c2λ2x2+...+cnλnxn，這仍然在L中。是以，L是B的不變子空間。