這裡借助網絡一個PPT，講述一個簡單的線性規劃問題。
可以歸納出線性規劃問題的一般形式是：
求一組決策變量 xj (j=1 ,2 , … , n)使得
其中cj , aij , bi (i=1 , 2 , … , n)均為已知實常數．式(2.1)稱為目标函數，式(2.2)和(2.3)稱為限制條件,特别稱式(2.3)為非負限制條件．
問題可以轉化為：
這裡松弛變量的作用就是把小于等于号轉變為等号。因為一共有三個小于等于号，是以引入三個松弛變量。
•為使目标函數值增加得快一些，可選擇正系數中最大的那個非基變量為進基（稱為“σ 規則”）．
•由于max{2,3} = 3是非基變量 x2 的系數，是以确定 x2 為進基．但基變量的個數是一定的（等于系數矩陣A的秩m），于是還要确定從原基變量 x3 , x4 , x5 中哪一個換出來作為非基變量（稱為“岀基”）．為此我們進行如下分析．
•從式（2.38）可知，首先，目标函數中不含基變量 x3 , x4 , x5；其次，非基變量 x1 , x2 的系數都是正數，如果将其中一個變量，例如 x1（或 x2 ）由非基變量換為基變量（稱為“進基”），則 x1（或 x2）的取值可以由零變成正值，就會使目标函數的值增大．進而可以斷定初始基可行解 x(0) 并不是最優解．
•從經濟意義上講，安排生産産品A（或B），都可以使工廠的利潤名額增加．是以，隻要不含基變量的目标函數的表達式（2.38）中有非基變量的系數為正，就表示目标函數值還有改進可能．
•從經濟意義上講，由于每生産一件産品B，需要耗掉鋼、鐵、橡膠三種原料數分别為2噸，0噸，4噸，當确定生産産品B的産量為3/2件時，則需要消耗鋼、鐵、橡膠三種原料數分别為3噸，0噸，6噸，這說明原料橡膠已全部用完．是以，由這些原料中的薄弱環節橡膠的供應量确定了産品B的産量不超過3/2件．這充分展現了岀基的選擇兼顧各種限制條件的思想，又稱為最小比值法則．
這裡的基可以換進換出，是因為n維空間中任意n個線性無關的向量都可以作為基變量。
比如，二維平面任意兩個不平行的向量都可以作為基向量。 在二維平面中，任意兩個不平行（即線性無關）的向量都可以作為基底，用于表示平面内的任何向量。
基底的定義是兩個不共線的向量。在二維平面中，如果兩個向量不平行，那麼它們就可以作為基底，用于生成該平面内的所有向量。基底的選擇不是唯一的，但必須是線性無關的。
上圖中一共有四個互不平行的向量，可以任意選擇兩個作為這個二維平面的基向量。