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大衛·希爾伯特
大衛·希爾伯特（德語：David Hilbert [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]，1862年1月23日－1943年2月14日），德國數學家，是19世紀和20世紀初最具影響力的數學家之一。希爾伯特1862年出生于哥尼斯堡（今俄羅斯加裡甯格勒），1943年在德國哥廷根逝世。他因為發明了大量的思想觀念（例：不變量理論、公理化幾何、希爾伯特空間）而被尊為偉大的數學家、科學家。[1]
David Hilbert
希爾伯特空間
希爾伯特空間（Hilbert space）指的其實就是完備的内積空間（Complete inner product space），兩者同義。而非完備的内積空間又稱為準希爾伯特空間（pre-Hilbert space）。
那麼顯然就有如下關系：
即希爾伯特空間是一種特殊的内積空間，其特殊性就展現在其完備性上，因為一個内積空間不一定是完備空間。
那麼，這其中包含有兩個概念，即：“完備空間”和“内積空間”。而兩者的交集即為“完備的内積空間”。下面分開進行解釋。
完備空間
在數學分析中，完備空間又稱完備度量空間或稱柯西空間（Cauchy space）。如果一個度量空間 中的所有柯西序列都收斂在該空間 中的一點，則稱該空間 為完備空間。[2]
這個定義中又涉及到兩個的概念，即“度量空間（Metric space）”和“柯西序列（Cauchy sequence）”。
度量空間
在數學中，度量空間是個具有距離函數的集合，該距離函數定義集合内所有元素間之距離。此距離函數被稱為集合上的度量。度量空間中最符合人們對于現實直覺了解的是三維歐幾裡得空間（Euclidean space）。[3]
這裡的“距離”是一個抽象概念，不僅僅指兩點間的直線距離，還包括向量距離、函數距離、曲面距離等。定義為：
設 是一個非空集合，對中任意兩點 ，在度量 的作用下，有一實數 與該兩點對應且滿足：
正定性： ，且 當且僅當 成立;
對稱性： ;
三角不等式： +.
那麼就稱 為中的一個距離（度量），稱為一個對于度量 而言的度量空間。
柯西序列
在數學中，柯西序列、柯西列、柯西數列或基本列是指這樣一個數列，它的元素随着序數的增加而愈發靠近。任何收斂數列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。[4]
完備性
前面提到“如果一個度量空間 中的所有柯西序列都收斂在該空間 中的一點，則稱該空間 為完備空間。”
可以把實數和有理數作為具體的例子。
由實數 定義的序列在通常定義的距離意義下是完備的。
而由有理數 定義的序列在通常定義的距離意義下則不是完備的。例如一個由有理數構成的序列：
++， ，即 。可以用巴比倫方法[5]證明其結果收斂于 。
說了這麼多，用一句通俗但不嚴謹的話來表達就是：通常見到的空間中，實數空間是完備空間。
内積空間
指的是添加了一個“運算方法”（或稱“結構”）的向量空間（或稱為“線性空間”，兩者同義），這個新添加的運算方法即“内積（Inner product）”又稱“标量積（Scalar product）”或稱“點積（Dot product）”。内積将一對向量與一個純量連接配接起來，允許我們嚴格地談論向量的“夾角”和“長度”，并進一步談論向量的正交性。[6]
這其中又涉及了“向量空間（Vector space）”的概念。
而且，内積空間具有基于空間本身的内積所自然定義的範數，， 且其滿足平行四邊形定理，也就是說内積可以誘導一個範數，是以内積空間一定是“賦範空間”。這其中又涉及了“賦範空間（Normed vector space）”的概念。
一步一步來，先說說向量空間（或稱“線性空間”，兩者同義）。
向量空間
一般向量空間的定義如下：布于一個域 （例如，實數域 、複數域 ）的向量空間 是由向量組成的一個集合，并賦予該集合向量與向量之間的加法：+ ；以及标量與向量之間乘法： 。向量 之和為 + ，向量 與标量 之積為 。向量空間中向量加法與标量乘法運算滿足：
加法交換律： ++ ；
加法結合律： (+) ++(+) ；
向量機關元：存在唯一的 使得 + ；
逆元：存在唯一的 ，使得 + ;
向量配置設定律：對于 , ++;
标量配置設定律：對于 , ++;
結合律：對于 ;
标量機關元：對于 .
是以，向量空間實質上是一個加法可交換群附加了一個運算，該運算将每一個标量 與向量 的乘積指定為一向量 ，且該向量 . 可見，向量空間的定義中并不包含向量與向量之間的乘法。
而這也是正是内積作為差別内積空間與一般向量空間的附加條件的原因。這也是為什麼内積空間包含三個運算：向量與向量之間的加法，标量與向量之間的乘法，以及向量與向量之間的乘法。
在了解了向量空間的基礎上，再反過頭來，補充一下賦範空間的概念和這幾個空間之間的關系。由于賦範空間定義在向量空間的基礎之上，是以也稱為線性賦範空間，簡稱賦範空間。注意，前面提到，向量空間就是線性空間，兩者同義。
（線性）賦範空間
範數常常被用來度量某個向量空間（或矩陣）中的每個向量的長度或大小。其定義是：
設 是布于一個域 （例如，實數域 、複數域 ）的向量空間，函數 作用于，且滿足條件：
正定性：對 ；且 當且僅當；
齊次性：對，有 ;
三角不等式：對 ，有 ++。
稱 是上的一個範數，定義了範數 的向量空間 稱為（線性）賦範空間。
通過将賦範空間和上面的度量空間相比較，可知“範數”與“距離”之間的差別有：
距離（或稱“度量”）是定義在任意非空集合上的，而範數則定義在向量空間上；
在向量空間中，範數可以誘導距離（或稱“度量”），反之不成立，這也意味着賦範空間一定屬于度量空間;
範數的“齊次性”表明範數可以看做是強化後的距離概念。
下圖顯示了幾個空間之間的包含關系：[7]
總結
說了這麼多感覺有點亂，是以再總結一下各個空間之間的關系：
向量空間+範數運算=（線性）賦範空間
（線性）賦範空間+内積運算=内積空間
（線性）賦範空間+完備性=巴拿赫空間
内積空間+完備性+有限維=歐幾裡德空間
内積空間+完備性=希爾伯特空間
最後補充一句：希爾伯特空間（Hilbert space）是有限維歐幾裡得空間（Euclidean space）的一個推廣，使之不局限于實數的情形和有限的維數，但又不失完備性（不像一般的非歐幾裡得空間那樣破壞了完備性）。
而且從上面的關系可知，希爾伯特空間（Hilbert space）可以看做是增加了内積運算的巴拿赫空間（Banach space）。
Reference
David_Hilbert
Complete metric space
Metric space
Cauchy sequence
Babylonian method
Inner product space
Normed vector space