本節書摘來自華章出版社《 線性代數及其應用 （原書第4版）》一書中的第1章，第1.1節，作者:（美）戴維c. 雷（david c. lay）馬裡蘭大學帕克學院 著劉深泉 張萬芹 陳玉珍 包樂娥 陸 博 譯，更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視
介紹性執行個體 經濟學與工程中的線性模型
1949年夏末，哈佛大學教授列昂惕夫（wassily leontief）正在小心地将最後一部分穿孔卡片插入大學的markⅡ計算機. 這些卡片包含了美國經濟的資訊，包括了美國勞動統計局兩年緊張工作所得到的總共25萬多條資訊. 列昂惕夫把美國經濟分解為500個部門，例如煤炭工業、汽車工業、交通系統等等. 對每個部門，他寫出了一個描述該部門的産出如何配置設定給其他經濟部門的線性方程. 由于當時最大的計算機之一的markⅡ還不能處理所得到的包含500個未知數的500個方程的方程組，列昂惕夫隻好把問題簡化為包含42個未知數的42個方程的方程組.
為解列昂惕夫的42個方程，編寫markⅡ計算機上的程式需要幾個月的工作，他急于知道計算機解這個問題需要多長時間. markⅡ計算機運算了56個小時，才得到最後的答案. 我們将在1.6節和2.6節中讨論這個解的性質.
列昂惕夫獲得了1973年諾貝爾經濟學獎，他打開了研究經濟數學模型的新時代的大門. 1949年在哈佛的工作标志着應用計算機分析大規模數學模型的開始. 從那以後，許多其他領域中的研究者應用計算機來分析數學模型. 由于所涉及的資料數量龐大，這些模型通常是線性的，即它們是用線性方程組描述的.
線性代數在應用中的重要性随着計算機功能的增大而迅速增加，而每一代新的硬體和軟體引發了對計算機能力的更大需求. 是以，計算機科學就通過并行處理和大規模計算的爆炸性增長與線性代數密切聯系在一起.
科學家和工程師正在研究大量極其複雜的問題，這在幾十年前是不可想象的. 今天，線性代數對許多科學技術和工商領域中的學生的重要性可說超過了大學其他數學課程. 本書中的材料是在許多有趣領域中進一步研究的基礎. 這裡舉出幾個例子，以後将列舉其他一些領域.
.石油探測. 當勘探船尋找海底石油儲藏時，它的計算機每天要解幾千個線性方程組. 方程組的地震資料從氣噴槍的爆炸引起水下沖擊波獲得. 這些沖擊波引起海底岩石的震動，并用幾英裡長的電纜拖在船後的地震測波器采集資料.
. 線性規劃. 許多重要的管理決策是線上性規劃模型的基礎上作出的，這些模型包含幾百個變量，例如，航運業使用線性規劃排程航班、監視飛機的飛行位置，或計劃維修和機場運作.
. 電路. 工程師使用仿真軟體來設計電路和微晶片，它們包含數百萬的半導體. 這樣的軟體技術依賴于線性代數與線性方程組的方法.
線性方程組是線性代數的核心，本章使用它來引入線性代數的許多重要概念. 1.1節和1.2節介紹求解線性方程組的一個系統方法，這個算法在全書的計算中都用到. 1.3節和1.4節指出線性方程組等價于一個向量方程與矩陣方程. 這種等價性把向量的線性組合問題化為線性方程組的問題. 線性表示，線性無關和線性變換的基本概念将在本章後半部分研究，它們在整本書中起着關鍵的作用，并使我們體會到線性代數的魅力和威力.
1.1 線性方程組
包含未知數 的一個線性方程是形如
的方程，其中b與系數
是實數或複數，通常是已知數. 下标n可以是任意正整數. 在本書的例題中，n通常是在2與5之間. 在實際問題中，n可以是50，5000或更大.
方程
都是線性方程，因為它們可以化為
都不是線性方程，因為第一個方程中包含
，第二個方程中包含
.線性方程組是由一個或幾個包含相同變量
的線性方程組成的. 例如，
線性方程組的一組解是一組數
，用這組數分别代替
時所有方程的兩邊相等. 例如，方程組（2）有一組解(5，6.5，3)，這是因為，在（2）中用這些值代替
時，方程組變成等式8=8和 -7=-7.
方程組所有可能的解的集合稱為線性方程組的解集. 若兩個線性方程組有相同的解集，則這兩個線性方程組稱為等價的. 也就是說，第一個方程組的每個解都是第二個方程組的解，第二方程組的每個解都是第一方程組的解.
求包含兩個未知數的兩個方程組成的方程組的解，等價于求兩條直線的交點. 一個典型的例子是
這兩個方程的圖形都是直線，分别用l1和l2表示，數對
滿足這兩個方程當且僅當點
是這兩條直線的交點. 容易驗證，這個方程組有唯一的解(3，2)，如圖1-1所示.
當然，兩條直線不一定交于一個點，它們可能平行，也可能重合，重合的兩條直線上的每個點都是交點. 圖1-2是與下面兩個方程組對應的圖形：
圖1-1和圖1-2說明線性方程組的下列一般事實，這将在1.2節證明.
線性方程組的解有下列三種情況：
無解.
有唯一解.
有無窮多解.
我們稱一個線性方程組是相容的，若它有一個解或無窮多個解；稱它是不相容的，若它無解.
圖1-1 有唯一解
a）無解 b）無窮多解
圖 1-2
矩陣記号
一個線性方程組包含的主要資訊可以用一個稱為矩陣的緊湊的矩形陣清單示. 給出方程組
把每一個變量的系數寫在對齊的一列中，矩陣
稱為方程組（3）的系數矩陣，而
稱為它的增廣矩陣.（第二行第一個元素為0，因第二個方程可寫成
）方程組的增廣矩陣是把它的系數矩陣添上一列所得，這一列是由方程組右邊常數組成的.
矩陣的維數說明它包含的行數和列數. 上面的增廣矩陣（4）有3行4列，稱為3x4（讀作3行4列）矩陣. 若m, n是正整數，一個m x n矩陣是一個有m行n列的數的矩形陣列.（行數寫在前面.）矩陣記号為解方程組帶來友善.
線性方程組的解法
本節和下一部分給出了解線性方程組的一般方法. 基本的思路是把方程組用一個更容易解的等價方程組（即有相同解集的方程組）代替.
粗略地說，我們用方程組中第一個方程中含x1的項消去其他方程中的含x1的項. 然後用第二個方程中含x2的項消去其他方程中含x2的項，依此類推. 最後我們得到一個很簡單的等價方程組.
用來化簡線性方程組的三種基本變換：把某一個方程換成它與另一方程的倍數的和；交換兩個方程的位置；把某一方程的所有的項乘以一個非零常數. 在例1之後，我們将說明經過這三種變換，為什麼不改變方程組的解集.
例1 解方程組（3）.
解 我們在消去未知數的同時用方程組與相應的矩陣形式表示出來以便比較.
保留第一個方程中的x1，把其他方程中的x1消去. 為此，把第1個方程乘以4，加到第3個方程上. 熟練之後可以通過心算完成：
把原來的第三個方程用所得新方程代替：
其次，把方程2乘以1/2，使x2的系數變成1.
利用方程2中的x^2項消去方程3中的項-3x^2 ，用心算計算如下：
所得的新方程組有三角形形狀：
現在我們想消去第一個方程中的項 ，不過先利用方程3消去第一個方程中的項x3和第二個方程中的項 更為有效. 這兩個運算如下：
這兩次變換的結果如下：
現在，在x3的一列中隻剩一項，我們回頭來消去第一個方程中的x2項. 把方程2的2倍加到方程1，得到方程組：
我們已經得出結果：原方程組的唯一解是(29, 16, 3)，我們做了這麼多計算，最好還是檢驗一下結果. 為證明(29, 16, 3)是方程組的解，把這些值代入原方程組的左邊：
結果與原方程組右邊相同，是以(29, 16, 3)是原方程組的解（見圖1-3）.
例1說明了線性方程的變換對應于增廣矩陣的行的變換. 前面所講的三種基本變換對應于增廣矩陣的下列變換.
行初等變換
1.（倍加變換）把某一行換成它本身與另一行的倍數的和.
2.（對換變換）把兩行對換.
3.（倍乘變換）把某一行的所有元素乘以同一個非零數.
行變換可施行于任何矩陣，不僅是對于線性方程組的增廣矩陣. 我們稱兩個矩陣為行等價的，若其中一個矩陣可以經一系列行初等變換成為另一個矩陣.
重要的一點是行變換是可逆的. 若兩行被對換，則再次對換它們就會還原為原來的狀态. 若某一行乘以非零常數c，則将所得的行乘以 就得出原來的行. 最後，考慮涉及兩行的倍加變換，例如第一行和第二行. 假設把第一行的c倍加到第二行得到新的第二行，那麼“逆”變換就是把第一行的-c倍加到（新的）第二行上就得到原來的第二行. 見本節末習題29~32.
此時，我們更關注對一個線性方程組的增廣矩陣進行行變換. 假設一個線性方程組經過行變換變成另一個新的方程組，考慮每一種行變換，容易看出，原方程組的任何一個解仍是新的方程組的一個解. 反之，因原方程組也可由新方程組經行變換得出，新方程組的每個解也是原方程組的解. 這就證明了下列事實.
若兩個線性方程組的增廣矩陣是行等價的，則它們具有相同的解集.
雖然例1看起來很長，經過一些練習你還是可以很快掌握的. 本書中習題的行變換通常是很簡單的，因而你可以集中精力了解其中的思想和概念. 當然你必須熟練掌握這些變換，因為整本書都要用到它們.
本節的其他部分将介紹如何利用行變換來确定解集的情況，而無須完全求出解來.
存在與唯一性問題
在1.2節中我們将會知道，為什麼一個線性方程組的解集可能不包含任何解、一個解或無窮多個解. 為确定某個方程組屬于哪種情況，我們提出以下兩個問題.
線性方程組的兩個基本問題
方程組是否相容，即它是否至少有一個解？
若它有解，它是否隻有一個解，即解是否唯一？
這兩個問題将在整本書中以各種形式出現. 本節與下節中，我們将說明如何通過增廣矩陣的行變換來回答這些問題.
例2 确定下列方程組是否有解
解 這就是例1中的方程組. 設我們已把方程組通過行變換變成三角形
這時我們已經确定了x3，若把x3的值代入方程2，我們就會确定x2，因而可由方程1确定x1，是以解是存在的，即該方程組是相容的.（事實上，x2由方程2唯一确定，而x1由方程1唯一确定，是以解是唯一的.）
例3 确定下列方程組是否相容：
解 增廣矩陣為：
為使第一個方程包含x1項，對換第一行與第二行：
為消去第3個方程的項 ，把第1行的?5/2倍加到第3行：
其次，用第二個方程的x2項消去第三個方程的 項，把第2行的1/2倍加到第3行上：
現在增廣矩陣已成為三角形，我們來說明這個矩陣. 化為方程表示：
方程0-5/2是 的簡寫. 這個三角形線性方程組顯然是沖突的，是以滿足（8）的未知數 的值是不可能存在的，因等式0-5/2不可能成立. 由于（8）和（5）有同樣的解集，原方程組是不相容的（即無解），見圖1-4.
圖1-4 該方程組是不相容的，因為沒有同時落在三個平面上的點
注意（7）的增廣矩陣，它的最後一行在三角形不相容方程組中是典型的.
數值計算的注解 在實際問題中線性方程組是通過計算機求解的. 對于方陣，計算機程式基本上是應用這裡以及1.2節的消去法，稍做修正以改進精确度.
工商業中的大量線性代數問題運用浮點運算求解，數表示為小數形式： ，r是整數，而小數點右面的數位為8至16位. 這種數的算術運算一般是有誤差的. 其結果必須四舍五入（或舍去）為存儲時需要的數位.“舍入誤差”在輸入像1/3這樣的數時也會産生，因為它必須用近似的有限位小數表示. 幸運的是，浮點運算中的不精确性很少引起嚴重問題. 本書中關于數值計算的注解将會提醒你注意這些問題.
練習題
本書中練習題應該在做習題之前完成，它們的解答在每一節習題之後給出.
用語言叙述解每個方程組時下一步應做的行變換.
某線性方程組的增廣矩陣已經由行變換化為以下形式. 确定它是否有解.
數組(3，4，?2)是否為下列方程組的解：
當h和k取何值時下列方程組相容？
習題1.1
利用對方程或增廣矩陣的行初等變換解1-4題中的方程組. 依照本節中給出的消去過程.
求在直線 上的點 ，見下圖.
求直線
的交點.
習題5、6中的矩陣是某個線性方程組的增廣矩陣. 說明在解方程組時下一步應進行的行初等變換.
在7~10題中某個線性方程組的增廣矩陣已由行變換化成如下所示，繼續進行适當的行變換并說明原方程組的解集.
解11~14題的方程組：
确定15~16題中的方程組是否相容，不必解出方程組.
18.
在19~22題中，确定h的值使矩陣是某一個相容方程組的增廣矩陣：
在23~24題中，或是直接引用本節的重要命題，略為改述（但依然成立），或被錯誤修改. 判斷每個命題的真或假并給出理由. （若判斷為真，指出教材中相似命題的出處，或參考的定義、定理. 若判斷為假，指出引用或用錯的命題出處，或舉例說明.）類似的真/假問題會在本教材的許多章節中出現.
兩個矩陣是行等價的，若它們有相同的行數.
對增廣矩陣的行初等變換不改變相關的線性方程組的解集.
兩個線性方程組是等價的，若它們有相同的解集.
不相容線性方程組有一個或更多解.
求出包含g，h和k的方程組，使以下矩陣是相容方程組的增廣矩陣.
設下面的方程組對所有f和g的可能取值都是相容的，則系數c和d有何特性？給出理由.
設 為常數，a不為零，下面的方程組對所有f和g的可能取值都是相容的，則系數 有何特性？給出理由.
給解集為
的線性方程組構造三個不同的增廣矩陣.
在29~32題中，求出把第一個矩陣變為第二個矩陣的行初等變換，并求出把第二個矩陣變為第一個矩陣的逆行初等變換.
熱傳導的研究中，重要問題是确定某一塊平闆的穩态溫度分布，假設已知邊界上的溫度分布，假設下圖中的平闆代表一條金屬梁的截面，忽略垂直于該截面方向上的熱傳導，設 表示圖中4個内部結點的溫度. 某一節點的溫度近似地等于4個與它最接近的結點（上、下、左、右）的平均值 ，1例如
寫出溫度
所滿足的方程組.
解習題33中寫出的方程組.（提示：為快速計算，在對換變換之前先對換第1行和第4行.）
練習題答案
手工計算時，最好是把方程3與4對換，另一種辦法是把方程3乘以1/5，或把方程4化為它與方程3的-1/5倍的和（不要利用方程2中的
項消去方程1中
，而要等到得到三角形矩陣且
項已從前2個方程消去之後）.
方程組已是三角形. 進一步的簡化可利用第四個方程中的
項消去它上面的各個
項，現在适當的步驟是把方程4的2倍加到方程1上（此後再把方程3乘以1/2，再消去其他的
項）.
對應于該增廣矩陣的方程組是
由第三個方程得到 ，這當然是允許的. 消去前兩個方程中的 項，我們可以繼續求出方程組的唯一解. 是以解是存在且唯一的. 注意比較本題與例3.
3.
4.