本節書摘來自異步社群《精通matlab數字圖像處理與識别》一書中的第6章，第6.8節，作者 張铮 , 倪紅霞 , 苑春苗 , 楊立紅，更多章節内容可以通路雲栖社群“異步社群”公衆号檢視
精通matlab數字圖像處理與識别
在6.4.1小節我們曾探讨了頻域濾波與空域濾波之間的關系。這裡則要更進一步，來研究頻域濾波器與空域濾波器之間的内在聯系。
頻域濾波較空域而言更為直覺，頻域下濾波器表達了一系列空域處理（平滑、銳化等）的本質，即對高于/低于某一特定頻率的灰階變化資訊予以濾除，而對其他的灰階變化資訊基本保持不變。這種直覺性增加了頻域濾波器設計的合理性，使得我們更容易設計出針對特定問題的頻域濾波器，就如在6.7節中我們利用了帶阻濾波器實作了對圖像中周期噪聲的濾除，而想直接在空域中設計出一個能夠完成如此濾波任務的濾波器（卷積模闆）是相當困難的。
為了得到合适的空域濾波器，我們很自然地想到可以首先設計頻域濾波器h(u, v)，而後根據卷積定理式（6-61)，将h(u, v)反變換至空域後就得到了空域中濾波使用的卷積模闆h(x, y)，進而解決了空域濾波器的設計難題。
然而，直接反變換得到的空域卷積模闆h(x, y)同 h(u, v)等大，進而與圖像f(x, y)具有相同的尺寸。而模闆操作十分耗時，要計算這樣大的模闆與圖像的卷積将是非常低效的。在第3章中我們使用的都是很小的模闆（如3×3, 5×5, 7×7等），因為這樣的模闆在空域中才具有濾波效率上的優勢。一般來說，如果空域模闆中的非零元素數目小于132（大約13×13見方），則直接在空域中計算卷積較為劃算，否則直接利用h(u, v)在頻域下濾波更為合适。
在實際中我們發現，利用以全尺寸的空域濾波器h(x, y)為指導設計出的形狀與之類似的小空域卷積模闆，同樣可以取得類似于頻域濾波器h(u, v)的濾波效果。這就為從頻域出發，最終設計出具有實用價值的空域模闆提供了一種完美的解決方案。
式（6-52）給出的高斯頻域低通濾波器h(u)及與其構成傅立葉變換對兒的空域高斯模闆h(x)正好印證了上述結論。從圖6.19上來看，h(u)越窄，h(x)就越寬。而頻域低通濾波器h(u)越窄，說明能夠通過的頻率越低，被截斷的高頻成份也就越多，進而使濾波處理後原函數f(x)變得平滑；而空域下以越寬的模闆h(x)與函數f(x)卷積則同樣會産生平滑的效果。再進一步以h(x)的形狀為指導，就可以得到曾在高斯平滑中使用的高斯模闆式（5-5）。
附 錄
Ⅰ.傅立葉級數的收斂性
傅立葉級數的收斂性：滿足狄利赫裡條件的周期函數表示成的傅裡葉級數都收斂。狄利赫裡條件如下。
（1）在任何周期内，x(t)須絕對可積。
（2）在任一有限區間中，x(t)隻能取有限個最大值或最小值。
（3）在任何有限區間上，x(t)隻能有有限個第一類間斷點。
Ⅱ.傅立葉級數的三角形式和複指數形式的轉換
利用歐拉公式
為求得系數c n，将式(6-2)代入式(6-63)，得
即傅立葉系數的複數形式。
式中: u表示f(x)的頻率，即