详细论述了地心坐标系到站心坐标的转换原理及其实现。
目录
1. 概述
2. 原理
2.1. 平移
2.2. 旋转
2.3. 总结
3. 实现
4. 参考
我在《大地经纬度坐标与地心地固坐标的的转换》这篇文章中已经论述了地心坐标系的概念。我们知道，基于地心坐标系的坐标都是很大的值，这样的值是不太方便进行空间计算的，所以很多时候可以选取一个站心点，将这个很大的值变换成一个较小的值。以图形学的观点来看，地心坐标可以看作是世界坐标，站心坐标可以看作局部坐标。
站心坐标系以一个站心点为坐标原点，当把坐标系定义为X轴指东、Y轴指北，Z轴指天，就是ENU（东北天）站心坐标系。这样，从地心地固坐标系转换成的站心坐标系，就会成为一个符合常人对地理位置认知的局部坐标系。同时，只要站心点位置选的合理（通常可选取地理表达区域的中心点），表达的地理坐标都会是很小的值，非常便于空间计算。
注意站心天向(法向量)与赤道面相交不一定会经过球心
令选取的站心点为P，其大地经纬度坐标为\(（B_p，L_p，H_p）\)，对应的地心地固坐标系为\(（X_p，Y_p，Z_p）\)。地心地固坐标系简称为ECEF，站心坐标系简称为ENU。
通过第一节的图可以看出，ENU要转换到ECEF，一个很明显的图形操作是平移变换，将站心移动到地心。根据站心点P在地心坐标系下的坐标\(（X_p，Y_p，Z_p）\)，可以很容易推出ENU转到ECEF的平移矩阵：
\[T =
\begin{bmatrix}
1&0&0&X_p\\
0&1&0&Y_p\\
0&0&1&Z_p\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\]
反推之，ECEF转换到ENU的平移矩阵就是T的逆矩阵：
\[T^{-1} =
1&0&0&-X_p\\
0&1&0&-Y_p\\
0&0&1&-Z_p\\
另外一个需要进行的图形变换是旋转变换，其旋转变换矩阵根据P点所在的经度L和纬度B确定。这个旋转变换有点难以理解，需要一定的空间想象能力，但是可以直接给出如下结论:
当从ENU转换到ECEF时，需要先旋转再平移，旋转是先绕X轴旋转\((\frac{pi}{2}-B)\)，再绕Z轴旋转\((\frac{pi}{2}+L)\)
当从ECEF转换到ENU时，需要先平移再旋转，旋转是先绕Z轴旋转\(-(\frac{pi}{2}+L)\)，再绕X轴旋转\(-(\frac{pi}{2}-B)\)
根据我在《WebGL简易教程(五)：图形变换(模型、视图、投影变换)》提到的旋转变换，绕X轴旋转矩阵为：
\[R_x =
1&0&0&0\\
0&cosθ&-sinθ&0\\
0&sinθ&cosθ&0\\
绕Z轴旋转矩阵为：
\[R_z =
cosθ&-sinθ&0&0\\
sinθ&cosθ&0&0\\
0&0&1&0\\
从ENU转换到ECEF的旋转矩阵为：
\[R = {R_z(\frac{pi}{2}+L)}\cdot{R_x(\frac{pi}{2}-B)}
\tag{1}
根据三角函数公式：
\[sin(π/2+α)=cosα\\
sin(π/2-α)=cosα\\
cos(π/2+α)=-sinα\\
cos(π/2-α)=sinα\\
有：
\[R_z(\frac{pi}{2}+L) =
-sinL&-cosL&0&0\\
cosL&-sinL&0&0\\
\tag{2}
\[R_x(\frac{pi}{2}-B) =
0&sinB&-cosB&0\\
0&cosB&sinB&0\\
\tag{3}
将(2)、(3)带入(1)中，则有：
\[R =
-sinL&-sinBcosL&cosBcosL&0\\
cosL&-sinBsinL&cosBsinL&0\\
\tag{4}
而从ECEF转换到ENU的旋转矩阵为：
\[R^{-1} = {R_x(-(\frac{pi}{2}-B))} \cdot {R_z(-(\frac{pi}{2}+L))}
\tag{5}
旋转矩阵是正交矩阵，根据正交矩阵的性质:正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，那么可直接得：
\[R^{-1} =
-sinL&cosL&0&0\\
-sinBcosL&-sinBsinL&cosB&0\\
cosBcosL&cosBsinL&sinB&0\\
\tag{6}
将上述公式展开，可得从ENU转换到ECEF的图形变换矩阵为：
\[M = T \cdot R =
而从ECEF转换到ENU的图形变换矩阵为：
\[M^{-1} = R^{-1} * T^{-1} =
接下来用代码实现这个坐标转换，选取一个站心点，以这个站心点为原点，获取某个点在这个站心坐标系下的坐标：
这个示例先用Eigen矩阵库，计算了坐标转换需要的矩阵和转换结果；然后通过osgEarth进行了验证，两者的结果基本一致。运行结果如下：
站心坐标系和WGS-84地心地固坐标系相互转换矩阵
Transformations between ECEF and ENU coordinates
GPS经纬度坐标WGS84到东北天坐标系ENU的转换
三维旋转矩阵；东北天坐标系(ENU)；地心地固坐标系(ECEF)；大地坐标系(Geodetic)；经纬度对应圆弧距离