golang中big包源码阅读——从RSA算法说起

 ●  1 Golang中RSA加密算法实现

     ●  1.2.1 加密

     ●  1.2.2 解密

     ●  1.2.2.1 生成私钥

     ●  1.2.2.2 解密

     ●  1.1 RSA加密算法基础

     ●  1.2 算法优化

     ●  1.3 多素数

     ●  1.2 Golang中实现方式

 ●  2 Golang中Big包

     ●  2.1.1 Word (

src/math/big/arith.go

)

     ●  2.1.2 nat (

src/math/big/nat.go

     ●  2.1.3 Int (

src/math/big/int.go

     ●  2.1.4 Rat(

src/math/big/rat.go

     ●  2.1.4 Float(

src/math/big/rat.go

     ●  2.1 类型

1 Golang中RSA加密算法实现

1.1 RSA加密算法基础

RSA加密算法属于非对称加密算法，属于网络的基础安全算法。阮一峰的博文：RSA算法原理(一)和RSA算法原理(二)，非常通俗易懂。在这里简单的归纳总结一下，整个算法分为三个步骤，分别为：生成公钥和密钥；发送方使用公钥生成密文；接收方使用密钥解密。生成公钥和私钥

 ●  选择两个较大的质数 p 和 q ;

 ●  计算 p 和 q 的乘积 n=p×q ；

 ●  随机选择整数 e, 保证 1<e<φ(n) 并且 e,φ(n) 互质，其中 φ(n) 为 n 的欧拉函数值；

 ●  方程 e×d−1=k×φ(n)的一组解：(d,k)；

 ●  公钥：(n,e)；私钥： (n,d)

公钥加密对于待加密的数值：m, 那么密文: c=memodn。

私钥解密通过(n,d)和密文c，计算得到密文: m=cdmodn。

1.2 算法优化

在解密的算法中，关键点在于计算cd和对于n取模，但是通常情况下，该数是非常大的，因此计算是非常耗时操作。所以对于RSA算法解密的过程有简化的方法。中国剩余定理在*孙子算经*中有下面这么一段话

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

换成RSA中就是这样描述：p和q是两个素数，n=p×q, 对于任意(m1,m2),(0≤m21<p,0≤m2<q), 必然存在唯一的整数m,(0≤m<n) 满足 m1=mmodq,m2=mmodp， 所以RSA解密算法中的m=cdmodn, 可以分解为m1=cdmodp,m2=cdmodq, 然后再求得m。对于cdmodp=…=crmodp, 其中r为d除p−1的余数， 即r=dmod(p−1), 令dp=dmod(p−1)，同理dq=dmod(q−1)。同时计算出qinv×q=1modp。在预先计算出结果后，就可快速的解密

 ●  m1=cdpmodp

 ●  m2=cdqmodq

 ●  h=(qinv×((m1−m2)modp))modp

 ●  m=m2+h∗q

1.3 多素数

之前讨论的都是两个素数生成加密算法，为了保证n的位数，可以选择超过两个的素数，p,q,r1,r2…,rn，生成公钥和私钥的过程和之前一样，加密和解密的直接算法也是同样的。同样可以使用算法的优化算法。

1.2 Golang中实现方式

在Golang中实现了RSA加密算法：src/crypto/rsa/rsa.go文件中实现了RSA算法。该算法实现上述讨论的内容，但是除此之外，还处理可能出来的问题。如果me的值比n还小，那么c=me，所以根据c很容易的计算出m，因此通常是增加m的值，使之与n接近，PKCS1和OAEP都是很好的方法，在这里不做重点讨论。

1.2.1 加密

公钥的数据结构：

1type PublicKey struct {

2 N *big.Int // modulus

3 E int // public exponent

4}

包含了公钥必须n和e，但是两个是不同的数据类型big.Int和int两种。加密过程也是非常简单

1func encrypt(c *big.Int, pub *PublicKey, m *big.Int) *big.Int {

2 e := big.NewInt(int64(pub.E))

3 c.Exp(m, e, pub.N)

4 return c

5}

其中Exp方法作用c=memodpub.N

1.2.2 解密

私钥的数据结构

1type PrivateKey struct {

2 PublicKey // public part.

3 D *big.Int // private exponent

4 Primes []*big.Int // prime factors of N, has >= 2 elements.

5 // Precomputed contains precomputed values that speed up private

6 // operations, if available.

7 Precomputed PrecomputedValues

8}

私钥结构包含(

embed

)了公钥的结构，也可以知道使用了多素数的计算的方式，并使用

PrecomputedValues

结构保存加速解密计算的值，具体信息如下：

1type PrecomputedValues struct {

2 Dp, Dq *big.Int // D mod (P-1) (or mod Q-1)

3 Qinv *big.Int // Q^-1 mod P

4 CRTValues []CRTValue

5}

6// 包含了中国余数定理的值

7type CRTValue struct {

8 Exp *big.Int // D mod (prime-1).

9 Coeff *big.Int // R·Coeff ≡ 1 mod Prime.

10 R *big.Int // product of primes prior to this (inc p and q).

11}

其中

Dp

,

Dq

和

Qinv

是之前算法描述的预先计算的值，而

CRTValue

切片包含了使用中国余数定理所需要的值。

1.2.2.1 生成私钥

1func GenerateKey(random io.Reader, bits int) (*PrivateKey, error) {

2 // 生成只有两个2个素数的RSA

3 return GenerateMultiPrimeKey(random, 2, bits)

4}

5func GenerateMultiPrimeKey(random io.Reader, nprimes int, bits int) (*PrivateKey, error){

6 // 设置E的默认值为65537

7 priv := new(PrivateKey)

8 priv.E = 65537

9NextSetOfPrimes:

10 for {

11 // 确定设置还需要的剩余的bit位

12 todo := bits

13 //生成需要需要的bit位的素数

14 for i := 0; i < nprimes; i++ {

15 var err error

16 primes[i], err = rand.Prime(random, todo/(nprimes-i))

17 if err != nil {

18 return nil, err

19 }

20 todo -= primes[i].BitLen()

21 }

22 n := new(big.Int).Set(bigOne)

23 // totient 保存 n 的欧拉函数值

24 totient := new(big.Int).Set(bigOne)

25 pminus1 := new(big.Int)

26 for _, prime := range primes {

27 n.Mul(n, prime)

28 pminus1.Sub(prime, bigOne)

29 totient.Mul(totient, pminus1)

30 }

31 priv.D = new(big.Int)

32 e := big.NewInt(int64(priv.E))

33 // 根据E值计算出D值

34 ok := priv.D.ModInverse(e, totient)

35 //...

36 }

37 // 为解密过程中预先计算

38 priv.Precompute()

39 return priv, nil

40}

在RSA中，公钥中默认为：e=65537，按照所需的素数的个数和生成n的位数生成素数和d，最后进行预先计算操作，以加快解密过程。

1func (priv *PrivateKey) Precompute() {

2 //....

3 priv.Precomputed.Dp = new(big.Int).Sub(priv.Primes[0], bigOne)

4 priv.Precomputed.Dp.Mod(priv.D, priv.Precomputed.Dp)

5

6 priv.Precomputed.Dq = new(big.Int).Sub(priv.Primes[1], bigOne)

7 priv.Precomputed.Dq.Mod(priv.D, priv.Precomputed.Dq)

8

9 priv.Precomputed.Qinv = new(big.Int).ModInverse(priv.Primes[1], priv.Primes[0])

10 //...

11}

对于两个素数的提前计算比较直观，对私钥中的

Precomputed

中的

Dp

Dq

Qinv

分别计算。

1.2.2.2 解密

1func decrypt(random io.Reader, priv *PrivateKey, c *big.Int) (m *big.Int, err error) {

2 //....

3 if priv.Precomputed.Dp == nil {

4 m = new(big.Int).Exp(c, priv.D, priv.N)

5 } else {

6 // We have the precalculated values needed for the CRT.

7 m = new(big.Int).Exp(c, priv.Precomputed.Dp, priv.Primes[0])

8 m2 := new(big.Int).Exp(c, priv.Precomputed.Dq, priv.Primes[1])

9 m.Sub(m, m2)

10 if m.Sign() < 0 {

11 m.Add(m, priv.Primes[0])

12 }

13 m.Mul(m, priv.Precomputed.Qinv)

14 m.Mod(m, priv.Primes[0])

15 m.Mul(m, priv.Primes[1])

16 m.Add(m, m2)

17 //...

18 }

19 }

20 //...

21 return

22}

如果没有提前计算，那么直接使用公式计算；如果进行已经提前计算值，则按照优化的算法依次计算。

2 Golang中Big包

由于

RSA

算法在实现过程中需要很大（位数很多）的数据，所以没有使用

int

、

int32

int64

等数据类型，而是使用

math.big

包中提供的

Int

类型。除了

Int

类型，还定义了

Rat

Float

等相关类型，由于

Go

不支持操作符重载，所以基本上运算使用

Add

Sub

等形式定义的，在类型方法中，返回值通常也是

receiver

，所以在使用过程中，不需要定义一些变量保存结果，直接使用链式调用即可。

2.1 类型

在

src/math/big

中，实现了整数

Int

，浮点数

Float

和有理数

Rat

三种使用到的数据类型。除此之外还有一些辅助类型和针对大数处理的函数。

2.1.1 Word (

src/math/big/arith.go

1type Word uint
           

Word

类型是

uint

的别名，它代表了在

big

包中基本操作单元，其中包含了一些列基本的算术计算函数，除了

Word

之间的加减乘除计算；定义了

[]Word

Word

[]Word

之间的加和减计算。

2.1.2 nat (

src/math/big/nat.go

1type nat []Word
           

nat

是

[]Word

的别名，和整数表示形式一样，

nat

中每一个元素表示一位数字位，所以对于任意

nat

表示的任意数值

x

，都有：x=x[n−1]×Bn−1+x[n−2]×Bn−2+…+x[1]×B+x[0]

B

为

Word

表示值的基，通常为

1<<32

或者

1<<64

，取决于

uint

的类型是32位还是64位。除此之外，

nat

表示的值在最终的结果中，是不包含前面的零。定义了

nat

之间的加、减、乘、除等操作，还定义了区间内的连乘、平方根、取模；也提供了

nat

池，达到重复使用的目的。

2.1.3 Int (

src/math/big/int.go

1type Int struct {

2 neg bool // sign

3 abs nat // absolute value of the integer

4}

Int

类型定义包含了一个布尔型值

neg

，表示该值是正数还是负数；一个

nat

类型，表示该整数的绝对值。除了定义常规的整数之间运算，还定义了诸如

int32

int64

等和

Int

之间互相转换；字符串和

Int

类型相互转换；

And

OR

NOT

等运算；最大公约数

GCD

,取模

MODE

和素数等相关的计算方法。

2.1.4 Rat(

src/math/big/rat.go

1type Rat struct {

2 a, b Int

3}

有理数ab中的分子分母

a

b

Int

类型，提供了常规的算术运算；还有有

float32

float64

等相关转换操作。

2.1.4 Float(

src/math/big/rat.go

1type Float struct {

2 prec uint32

3 mode RoundingMode

4 acc Accuracy

5 form form

6 neg bool

7 mant nat

8 exp int32

9}

浮点型数据表示方式：

sign×mantissa×2exponent

其中 0.5≤mantissa≤1.0, 而且MinExp≤exponent≤MaxExp。除此之外还包含以下三个变量：

 ●  精度(

precision

): 表示

mantissa

比特位表示值的最大值；

 ●  取值模式(

mode

): 表示将浮点值转换为

mantissa

表示时候取值模式，一般有

ToNearestEven

ToNearestAway

ToZero

等等；

 ●  准确度(

accuracy

):表示取舍值与真正值之间的差值，取值有三种：

Below

Exact

Above

。

Float

类型中的

form

内部使用，用来表示该浮点值是零值，无穷值还是有穷值。

Float

定义的精度限制范围：

1const (

2 MaxExp = math.MaxInt32 // largest supported exponent

3 MinExp = math.MinInt32 // smallest supported exponent

4 MaxPrec = math.MaxUint32 // largest (theoretically) supported precision; likely memory-limited

5)

与 IEEE-754 定义的浮点型方式稍微有点不同：

mant

是一个非零的有限值，

nat

切片通常保存

precision

要求的位数，但是如果后面都是

,那么

nat

舍弃这些零，如果

precision

不是

Word

长度的整数倍，那么就要在

mant[0]

后面补上

; 如果

x.mant=1

，也就是

mantissa=0.5

，将会做一些标准化，将

mantissa

进行左移操作，

exponent

部分会右移操作。统一的形式为

1x form neg mant exp

2----------------------------------------------------------

3±0 zero sign - -

40 < |x| < +Inf finite sign mantissa exponent

5±Inf inf sign - -

和其他类型一样，

Float

提供的大量计算的方法。

原文发布时间为：2018-11-25

本文作者：南瓜waniu

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