摘要Abstract：现在的显示器大多数是光栅显示器，即可以看做一个像素的矩阵。在光栅显示器上显示的任何图形，实际上都是一些具有一种或多种颜色的集合。数学上精确表示的图形在显示器中只能用逼近的方式显示出来。本文主要对OpenCascade的BRep文件中用来显示曲线和曲面的离散数据结构进行说明。 关键字：OpenCascade, BRep, Polygon, Triangulation, Subdivision Curves,
Representation Data in OpenCascade BRep
摘要Abstract：现在的显示器大多数是光栅显示器，即可以看做一个像素的矩阵。在光栅显示器上显示的任何图形，实际上都是一些具有一种或多种颜色的集合。数学上精确表示的图形在显示器中只能用逼近的方式显示出来。本文主要对OpenCascade的BRep文件中用来显示曲线和曲面的离散数据结构进行说明。
关键字：OpenCascade, BRep, Polygon, Triangulation, Subdivision Curves,
一、引言 Introduction
光栅图形显示器可以看做一个像素矩阵。在光栅显示器上显示的任何一种图形，实际上都是一些具有一种或多种颜色的像素的集合。在数学上，理想的曲线是没有宽度的，它是由无数个点构成的集合，而当要显示曲线时，就不能用无数个点在显示器中显示，必须对其进行离散化，即细分处理。考虑性能要求，需要用尽可能少的点来显示曲线。对于曲面也是一样，虽然已经有曲面的数学解析表示，但是需要在显示器中显示时，必须对其离散化，即三角剖分得到的逼近曲面的三角网格。
在OpenCascade中已经有曲线和曲面的精确的数学解析表达形式的类，如下图所示：
Figure 1.1 Parametric geometry curves
Figure 1.2 Parametric geometry surfaces
在OpenGL中显示这些曲线和曲面时，不能直接显示出由参数方程精确表示的曲线和曲面，必须对曲线和曲面进行细分，即离散化，得到OpenGL显示用的点和三角网格。
在OpenCascade中使用类Poly_Polygon3D/Poly_Polygon2D来保存多段线的数据，即可以用来保存逼近显示由参数方程精确表示的曲线的离散点数据。
在OpenCascade中使用类Poly_Triangulation来保存网格数据，即用三角网格来逼近表示的曲面，或更通用的一个形状。
形状的离散化由函数BRepMesh::Mesh()来统一处理，处理后就可以得到形状用来显示的多段线和三角网格数据。有了这些离散数据，不管是将形状交给显示模块进行显示，还是将形状在其他显示引擎中显示，就很方便了。
在OpenCascade的BRep中也保存了形状的用来显示用的离散数据，即多段线和三角网格。只有经过BRepMesh::Mesh()离散化之后，形状才具有这些数据。
二、细分曲线 Subdivision of Curves
在前面的一篇文章《在OpenSceneGraph中绘制OpenCascade的曲线 》中对曲线的显示使用了统一细分处理（uniform subdivision），即将曲线在整个参数区域内均分后得到一些线段来显示。没有考虑这样的问题：在曲线很平的区域内，就会存在冗余的点；在曲线曲度很大的区域内，可能点的数量还不足以显示出光滑的曲线。自适应细分（Adaptive Subdivision）的方法就是将点放在最需要的地方，其主要目的是可视化曲线时更高效的渲染。通常这种方法主要用于游戏，因为其显示更高效，性能更好。
Figure 2.1 Uniform sampling on a curve
如上图所示，统一采样来绘制曲线时，通常会在直线段区域生成很多多余的点，而在曲线区域的点太少，不能表示出光滑的曲线。自适应细分曲线有很多种方法，每种方法都会考虑速度、效率和精度，即如何用最少的点精确地表示出曲线。当你理解这个基本概念后，也可以对其他方法进行研究。
在OpenCascade中对曲线的细分使用的类是GCPnts_TangentialDeflection，其算法描述如下，感兴趣的读者可以结合源程序对其算法实现进行研究：
其中各个点的横坐标对应的参数分别为：
从上述公式结合向量的数量积公式可以看出，约束条件是两个向量夹角的余弦值分别小于角度偏差和曲率偏差。算法将产生满足约束条件的曲线上的最少数量的点。
细分曲线后的点保存在类Poly_Polygon3D中。在BRep中也保存有多段线数据，如下所示：
示例：
BNF定义：
详细说明：
<3D polygon record>定义了空间多段线（3D polyline）L，用来逼近空间参数曲线C。多段线的数据包含节点数m>=2，参数显示标志位p，逼近偏差（deflection）d>=0，节点Ni（1=<i<=m），参数ui（1=<i<=m）。当参数显示标志位p＝1时，参数u才会显示。多段线L通过这些节点，多段线L逼近曲线C的逼近偏差定义如下所示：
参数ui（1=<i<=m）是曲线C上通过节点Ni的参数值：
示例数据表示的多段线为：m＝2，参数显示标志位p＝1，逼近偏差d＝0.1，节点N1＝（1，0，0），N2＝（2，0，0），参数u1＝0，u2＝1。
三、细分曲面 Subdivision of surfaces
我们知道使用参数方程可以精确表示出三维曲线和曲面，但是参数方程表示的曲线曲面并不能直接交给OpenGL直接显示出来。为此，图形学中广泛使用三角网格来表达三维模型，即用三角形组成的面片列表来近似逼近表示三维模型。
Figure 3.1 Triangulation of Chinese Dragon
用三角网格表示的曲面需要解决几个问题：三角网格的产生、描述、遍历、简化和压缩等。在OpenCascade中三角网格的产生使用算法Delaunay三角剖分算法生成网格数据，网格的描述使用类Poly_Triangulation。BRep文件中也保存三角网格的数据，如下所示：
<triangulation record>定义了逼近曲面S的三角剖分T（triangulation）。三角剖分的数据包含节点数m>=3，三角形数k>=1，参数显示标志位p，逼近偏差d>=0，节点Ni（1<=i<=m），参数对ui,vi（1<=i<=m），三角形nj,1，nj,2，nj,3。参数只有当参数显示标志位p＝1时才显示。三角剖分逼近曲面的偏差d定义如下所示：
参数对ui，vi描述了曲面S上过节点Ni的参数：
三角形nj,1， nj,2， nj,3用来取得三角形的三个顶点值Nnj,1，Nnj,2，Nnj,3，节点遍历的顺序就是Nnj,1，Nnj,2，Nnj,3。从三角剖分T的任意一侧遍历，所有三角形都有相同的方向：顺时针或逆时针。
三角剖分中的三角形数据：
表示的三角剖分为：m＝4个节点，k＝2个三角形，参数显示标志位p＝1，逼近偏差d＝0，节点N1（0，0，0），N2（0，0，3），N3（0，2，3），N4（0，2，0），参数值（u1,v1）＝（0，0），（u2,v2）＝（3，0），（u3,v3）＝（3，－2），（u4,v4）＝（0，－2）。从点（1，0，0）（（－1，0，0）），三角形是顺时针（逆时针）的。
四、程序示例 Code Example
通过创建多段线和三角网格数据并将其输出，可以理解BRep文件中用来显示的离散的数据结构。程序示例如下所示：
/*
* Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : [email protected]
* Date : 2013-12-12 21:46
* Version : 1.0v
*
* Description : There are two kind of data for shape representation
* of the BRep file of OpenCascade. One is Polyline to
* approximates a 3D curve; the other is triangulations
* to approximates a surface.
*
* KeyWords : OpenCascade, BRep File, Polygon, Triangulation
*
*/
#define WNT
#include <TColStd_Array1OfReal.hxx>
#include <TColgp_Array1OfPnt.hxx>
#include <TColgp_Array1OfPnt2d.hxx>
#include <Poly.hxx>
#include <Poly_Polygon3D.hxx>
#include <Poly_Array1OfTriangle.hxx>
#include <Poly_Triangulation.hxx>
#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
int main(void)
{
// 3D Polygons:
// Polygon3D 1
// 2 1
// 0.1
// 1 0 0 2 0 0
// 0 1
TColStd_Array1OfReal parameters(1, 2);
TColgp_Array1OfPnt nodes(1, 2);
Handle_Poly_Polygon3D polyline;
nodes.SetValue(1, gp_Pnt(1, 0, 0));
nodes.SetValue(2, gp_Pnt(2, 0, 0));
parameters.SetValue(1, 0.0);
parameters.SetValue(2, 1.0);
polyline = new Poly_Polygon3D(nodes, parameters);
polyline->Deflection(0.1);
Poly::Write(polyline, std::cout);
Poly::Write(polyline, std::cout, false);
// Triangulations.
// 4 2 1 0
// 0 0 0 0 0 3 0 2 3 0 2 0 0 0 3 0 3 -2 0 -2 2 4 3 2 1 4
Standard_Integer nodeCount = 4;
Standard_Integer triangleCount = 2;
Standard_Real deflection = 0.0;
Standard_Boolean hasUV = Standard_True;
TColgp_Array1OfPnt triNodes(1, nodeCount);
TColgp_Array1OfPnt2d UVNodes(1, nodeCount);
Poly_Array1OfTriangle triangles(1, triangleCount);
Handle_Poly_Triangulation triangulation;
triNodes(1).SetCoord(0, 0, 0);
triNodes(2).SetCoord(0, 0, 3);
triNodes(3).SetCoord(0, 2, 3);
triNodes(4).SetCoord(0, 2, 0);
UVNodes(1).SetCoord(0.0, 0.0);
UVNodes(2).SetCoord(3.0, 0.0);
UVNodes(3).SetCoord(3.0, -2.0);
UVNodes(4).SetCoord(0.0, -2.0);
triangles(1).Set(2, 4, 3);
triangles(2).Set(2, 1, 4);
triangulation = new Poly_Triangulation(triNodes, UVNodes, triangles);
triangulation->Deflection(deflection);
Poly::Write(triangulation, std::cout);
Poly::Write(triangulation, std::cout, false);
return 0;
} 输出结果如下所示：
Poly_Polygon3D
2 1
0.1
1 0 0
2 0 0
0 1
Poly_Polygon3D
2 Nodes
with parameters
Deflection : 0.1
Nodes :
1 : 1 0 0
2 : 2 0 0
Parameters :
0 1
Poly_Triangulation
4 2 1
0
0 0 0
0 0 3
0 2 3
0 2 0
0 0
3 0
3 -2
0 -2
2 4 3
2 1 4
Poly_Triangulation
4 Nodes
2 Triangles
with UV nodes
Deflection : 0
3D Nodes :
1 : 0 0 0
2 : 0 0 3
3 : 0 2 3
4 : 0 2 0
UV Nodes :
1 : 0 0
2 : 3 0
3 : 3 -2
4 : 0 -2
Triangles :
1 : 2 4 3
2 : 2 1 4
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