完全搞懂傅里叶变换和小波（1）——总纲

       无论是学习信号处理，还是做图像、音视频处理方面的研究，你永远避不开的一个内容，就是傅里叶变换和小波。但是这两个东西其实并不容易弄懂，或者说其实是非常抽象和晦涩的！

        完全搞懂傅里叶变换和小波，你至少需要知道哪些预备知识？主页君从今天开始就将通过一些列文章告诉你他们之间的来龙去脉！本节是全部系列文章的第一节——总纲，日后我们也将按照这个思路一点一点讲述所有的知识。需要说明的是，本文主要面向计算机专业或者电子信息专业的读者，为此我们将尽量采取一些非常非常基础的知识来帮助你理解。所以，题目里面讲的“完全搞懂”并非是从物理学或者纯数学的角度去讲的，因为傅里叶变换最初是法国科学家傅里叶在研究物理学（主要是热力学）时创造出来的一套理论，如果要从这个角度去说“彻底搞懂”，肯定得需要很多物理知识、复变实变分析，之类的像天书一样的东西。这样牵扯下去，其实很多对于学计算机或者学电子信息的人来说，其实完全没有必要。我们要做的，就是利用你已经掌握的知识来构建整个体系！

金庸在他的武侠小说《天龙八部》里塑造了一个吐蕃国师的人物形象——“鸠摩智”。鸠摩智练武急功近利，为了在短期内多炼成几门功夫，往往基础不打牢，就强行修炼上乘武学。用道家的小无相功催动少林的七十二绝技，看似威力无比，其实后患无穷。其实日常学习也是这样，如果上来就记住几个公式，然后单刀直入地去啃傅里叶变换或者小波，其实也能做出点东西来，但是由于基础都是空的，所以内化的过程几乎是断裂的，缺损的。无论是傅里叶变换还是小波，它们的最基本理论全部都是数学。只是大部分学生很难建立起它们之间的联系。我们今天就从数学开始说起。

图中虚线框里的内容，都应该是在高等数学里必学的内容，这部分有啥不懂的，去问童校长应该最合适不过了。首先，你应该知道费马定理（这个很简单，说白了其实就是函数有极值的条件），通过费马定理，你可以证明罗尔定理，然后通过罗尔定理，你又可以证明拉格朗日中值定理，通过拉格朗日中值定理，你又可以继而证明柯西中值定理。证明柯西中值定理的意义在于，它可以被用来证明泰勒公式。泰勒公式当然是一个叫做泰勒的人提出来的，但是真正证明泰勒公式的人是柯西，因为柯西知道柯西中值定理，而要证明泰勒公式就需要用到柯西中值定理。泰勒公式在我们这里有两个用途，首先它可以用来证明欧拉公式，欧拉公式在傅里叶变换里面也是必须要用到的。其次，通过泰勒公式可以得到幂级数的展开。这是一个先导，因为无论是小波展开，还是傅里叶展开，如果你理解泰勒展式或者幂级数展开式，那么对应的就很容易解释，人们设计傅里叶展式和小波展式的初衷和用意了。高数里的级数主要学两种，除了幂级数以外，另外一个就是傅里叶级数。到这里你所需要的高数知识就已经足够了。

图中黄色框图里的内容都是你在数字信号处理课程里应该学的。我们在学傅里叶变换之前，肯定要在高数里先学一个傅里叶级数，但是傅里叶级数和傅里叶变换有啥关系呢？说白了，他们的本质是一样一样的，尽管它们各自公式的表达式好像差别还很大。通过傅里叶级数公式，其实你做一些化简和变量替换（关于这部分内容，如果读者有兴趣，主页君后续可以给出详细证明过程），傅里叶级数就变成傅里叶变换了，当然是连续的。然后你根据数字信号处理里面学的采样定理，就能到处傅里叶变换了，这就是DFT！但是DFT有个问题，如果按公式计算，效率太低，实用价值不高，后来人们就发明了一个快速算法，FFT！这一路下来，如果每一步，你都非常清楚，那你就已经算是对傅里叶变换理解的很到位了。

然后说说小波，小波完全可以跟傅里叶变换对比着来理解，而且事实上，在小波出现之前，人们先创造出了一种叫短时傅里叶变换的东西，这可以被认为是二者之间的桥梁。当然，这部分内容，你不知道也没关系，你甚至可以以泰勒公式和幂级数为起点来理解小波。小波级数展开对应的是傅里叶展开，连续小波对应连续傅里叶变换，DWT对应DFT。这些都非常容易理解。同样，人们（其实主要是Mallat）也开发了一种小波的快速算法，FWT。FWT就像FFT在傅里叶变换中的地位。要理解FWT，你需要知道两个基础知识，一个叫做MRA，即多分辨率分析，学习MRA对于理解小波也非常有意义。因为MRA是构建小波的一种方法。另外一个你必须要知道的东西叫做“子带编码”或者子带分解。

要想理解子带分解，你就必须知道QMF，即正交镜像滤波器，而QMF是多采样率信号处理里面的重要内容。所以你必须有多采样率信号处理知识的基础，而多采样率信号处理的基础又是数字信号处理！另外，子带编码还有一个理论基础，或者说，子带编码为啥被证明有效，这就必须要知道率失真理论的有关结论。率失真理论又是信息论的重要组成部分。所以，最后这条线路上，你的学习脉络应该是从信息论出发的（其实主要是互信息和率失真方面的内容），然后才是信号处理，然后是多抽样率处理，然后是子带编码和QMF，这些你都懂了之后，FWT就太Easy了！当然，你直接就学FWT的算法，而不去管它到底是怎么来的，也是可以的，只是就像我之前说的，你的基础基本上都是空的，你学了也只是学个招式，内功心法几乎不会，所以再往上走可能会遇到很多困难。

任何一门学科或者知识发展到现在少说都是几十年了，让我们在短短个把月之内就学完，其实很不容易。所以看起来自己要知道的东西实在太多了，而学习的时间又是这样的有限。但是也没办法，楼宇要盖的越高，地基就势必要打得越深。