全排列算法与全组合算法

1. 前言

本文介绍了经常使用的排列组合算法，包含全排列算法，全组合算法，m个数选n个组合算法等。

2. 排列算法

常见的排列算法有：

(A)字典序法

(B)递增进位制数法

(C)递减进位制数法

(D)邻位对换法

(E)递归法

介绍经常使用的两种：

(1) 字典序法

对给定的字符集中的字符规定了一个先后关系，在此基础上依照顺序依次产生每一个排列。

[例]字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列是:123,132,213,231,312,321。

生成给定全排列的下一个排列 所谓一个的下一个就是这一个与下一个之间没有字典顺序中相邻的字符串。这就要求这一个与下一个有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。

算法思想：

设P是[1,n]的一个全排列。

P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn , j=max{i|Pi<Pi+1}, k=max{i|Pi>Pj} ,对换Pj，Pk，将Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻转， P’= P1P2…Pj-1PkPn…Pk+1PjPk-1…Pj+1即P的下一个

样例:839647521的下一个排列.

从最右開始,找到第一个比右边小的数字4(由于4<7，而7>5>2>1),再从最右開始,找到4右边比4大的数字5(由于4>2>1而4<5),交换4、5,此时5右边为7421,倒置为1247,即得下一个排列:839651247.用此方法写出全排列的非递归算法例如以下

该方法支持数据反复，且在C++ STL中被採用。

(2) 递归法

设一组数p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列为perm(p)，pn = p – {rn}。则perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。当n = 1时perm(p} = r1。

如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列

1、首先看最后两个数4, 5。 它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。

因为一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。

2、再看后三个数3, 4, 5。它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六组数。

即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合.

#include <stdio.h>
 
int n = 0;
 
void swap(int *a, int *b)
 
{
 
  int m;
 
  m = *a;
 
  *a = *b;
 
  *b = m;
 
}
 
void perm(int list[], int k, int m)
 
{
 
  int i;
 
  if(k > m)
 
  {
 
    for(i = 0; i <= m; i++)
 
      printf("%d ", list[i]);
 
    printf("\n");
 
    n++;
 
  }
 
  else
 
  {
 
    for(i = k; i <= m; i++)
 
    {
 
      swap(&list[k], &list[i]);
 
      perm(list, k + 1, m);
 
      swap(&list[k], &list[i]);
 
    }
 
  }
 
}
 
int main()
 
{
 
  int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};
 
  perm(list, 0, 4);
 
  printf("total:%d\n", n);
 
  return 0;
 
}      

3. 组合算法

3.1 全组合

在此介绍二进制转化法，即，将每一个组合与一个二进制数相应起来，枚举二进制的同一时候，枚举每一个组合。如字符串：abcde

00000 <– –> null

00001<– –> e

00010 <– –> d

… …

11111 <– –> abcde

3.2 从n中选m个数

(1) 递归

a. 首先从n个数中选取编号最大的数，然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数，直到从n-(m-1)个数中选取1个数为止。

b. 从n个数中选取编号次小的一个数，继续运行1步，直到当前可选编号最大的数为m。

以下是递归方法的实现：

/// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的全部组合。
 
/// a[1..n]表示候选集，n为候选集大小，n>=m>0。
 
/// b[1..M]用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标)，
 
/// 常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数，M=m，这两个參数仅用来输出结果。
 
voidcombine( inta[], intn, intm,  intb[], constint M )
{
  for(inti=n; i>=m; i--)   // 注意这里的循环范围
  {
    b[m-1] = i - 1;
    if(m > 1)
      combine(a,i-1,m-1,b,M);
    else                    // m == 1, 输出一个组合
    {
      for(intj=M-1; j>=0; j--)
      	cout << a[b[j]] << " ";
      cout << endl;
    }
  }
}      

(2) 01转换法

本程序的思路是开一个数组，其下标表示1到n个数，数组元素的值为1表示其代表的数被选中，为0则没选中。

首先初始化，将数组前n个元素置1，表示第一个组合为前n个数。

然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为“01”组合，同一时候将其左边的所有“1”所有移动到数组的最左端。

当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即n个“1”所有移动到最右端时，就得到了最后一个组合。

比如求5中选3的组合：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 1 1 0 0 //1,2,3 1 1 0 1 0 //1,2,4 1 0 1 1 0 //1,3,4 0 1 1 1 0 //2,3,4 1 1 0 0 1 //1,2,5 1 0 1 0 1 //1,3,5 0 1 1 0 1 //2,3,5 1 0 0 1 1 //1,4,5 0 1 0 1 1 //2,4,5 0 0 1 1 1 //3,4,5