* 一、直接法概述 直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形 方程组的方法，共有若干种． 对于线性方程组 其中 系数矩阵 未知量向量 常数项 根据Cramer(克莱姆)法则,若 determinantal 行列式的记号 若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换: 经过n-1次 同解 即 以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法 则 都是三角 形方程组 上述方法称为直接三角形分解法 §2 Matrix Factorization – Doolittle ? 道立特分解法 ： —— LU 分解的紧凑格式 反复计算, 很浪费哦 …… 通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。 思路 §2 Matrix Factorization – Doolittle 固定 i : 对 j = i, i+1, …, n 有 lii = 1 a 固定 j ，对 i = j, j+1, …, n 有 b 上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法 例1. 用Doolittle法解方程组 解: 由Doolittle分解 Doolittle法在计算机上实现是比较容易的 但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间: 因此可按下列方法存储数据: 直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示: 存储单元(位置) 紧凑格式的 Doolittle法 例2. 用紧凑格式的Doolittle法解方程组(例1) 解: 所以 Matrix Factorization – Choleski ? 平方根法 ： ——对称 正定 矩阵的分解法 定义 一个矩阵 A = ( aij )n?n 称为对称阵，如果 aij = aji 。 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 对任意非零向量 都成立。 ?回顾：对称正定阵的几个重要性质 ? A?1 亦对称正定，且 aii > 0 ? 若不然，则 存在非零解，即 存在非零解。 ? ? 对任意 , 存在 , 使得 , 即 。 ? 其中 第 i 位 ? A 的顺序主子阵 Ak 亦对 称正定 对称性显然。对任意 有 , 其中 。 ? A 的特征值 ?i > 0 设对应特征值 ? 的非零特征向量 为 ，则 。 ? A 的全部顺序主子式 det ( Ak ) > 0 因为 一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解) 记为 Diagonal:对角 因此 所以 综合以上分析, 则有 定理1. (Cholesky分解) 且该分解式唯一 这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解 二、对称正定线性方程组的解法 线性方程组 则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组 对称正定方程 组的平方根法 例1. 用平方根法解对称正定方程组 解: 即 三、平方根法的数值稳定性 用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元 由 可知 因此 平方根法是数值稳定的 事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤 §2 Matrix Factorization – Tridiagonal System ? 追赶法解三对角方程组 Step 1: 对 A 作Crout 分解 直接比较等式两边的元素，可得到计算公式。 Step 2: 追——即解 ： Step 3: 赶——即解 ： 与G.E.类似，一旦 ?i = 0 则算法中断，故并非任何 三对角阵都可以用此方法分解。