Outline
分治思想和递归表达式
大整数乘法
矩阵乘法的Strassen算法
快速傅里叶变化
基于分治的排序
merge-sort排序
快速排序
排序的下界问题
中位数和顺序统计量
最邻近点对
凸包
Notes
## 分治思想和递归表达式
【分治思想】算法
将一个问题分解为与原问题类似但规模更小的若干子问题，递归地解这些子问题，而后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法在每层递归上均包括三个步骤：编程
divide(分解)：将问题划分为若干个子问题
conquer(求解)：递归地解这些子问题；若子问题Size足够小，则直接解决之
Combine(组合)：将子问题的解组合成原问题的解
【分治递归表达式】数组
设T(n)是Size为n的执行时间，若Size足够小，如n ≤ C (常数)，则直接求解的时间为θ(1)
①设完成划分的时间为D(n)
②设分解时，划分为a个子问题，每一个子问题为原问题的1/b，则解各子问题的时间为aT(n/b)
③设组合时间C(n)
则有递归方程总结为：
T(n)=θ(1) if n
T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) if n≥c
技术细节(注意)：
在声明、求解递归式时，经常忽略向上取整、向下取整、边界条件
边界条件可忽略,这些细节通常只影响常数因子的大小，不改变量级。求解时，先忽略细节，而后再决定其是否重要！
## 大整数乘法
*********优化划分阶段，下降T(n)=aT(n/b) + f(n) 中的 a*********ide
这里咱们假设有两个大整数X、Y，分别设X=123四、Y=5678。如今要求X*Y的乘积，小学的算法就是把X与Y中的每一项去乘，可是这样的乘法所需的时间复杂度为O(n^2)，效率低下，咱们能够尝试使用分治来解决。函数
XY = (A2n/2 + B)(C2n/2 + D)优化
= AC2n + (AD+BC)2n/2 + BDui
= AC2n + ((A-B)(D-C)+AC+BD)2n/2 + BDidea
算法分析：
首先将X和Y分红A，B，C，D
此时将X和Y的乘积转化为上述式子，把问题转化为求解式子的值
此时递归式为 T(n)=4T(n/2)+θ(n)
算法复杂度T(n)=θ(n2)
继续优化： AD+BC=(B-A)(C-D)+AC+BD
算法过程：
划分产生A,B,C,D;
计算 B-A 和 C-D；
计算 n/2 位乘法 AC、BD、(B-A)(C-D)；
计算 (B-A)(C-D) + AC + BD；
AC左移n位，((B-A)(C-D) + AC + BD) 左移n/2位；
计算XY
递推式：
T(n)=θ(1) if n=1
T(n)=3T(n/2)+O(n) if n>1
算法复杂度： T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)
## 矩阵乘法的Strassen算法
【矩阵相乘的朴素算法 T(n) = Θ(n3)】spa
朴素矩阵相乘算法，思想明了，编程实现简单。时间复杂度是Θ(n^3)。伪码以下3d
1 for i ← 1to n2 do for j ← 1to n3 do c[i][j] ← 0
4 for k ← 1to n5 do c[i][j] ← c[i][j] + a[i][k]⋅ b[k][j]
【矩阵相乘的strassen算法 T(n)=Θ(nlog7) =Θ (n2.81)】
通常算法须要八次乘法，四次加法；算法效率是Θ(n^3)；
鉴于上面的分治法方案没法有效提升算法的效率，要想提升算法效率，由主定理方法可知必须想办法将2中递归式中的系数8减小。Strassen提出了一种将系数减小到7的分治法方案，以下图所示。
咱们能够看到上面只有7次乘法和屡次加减法，最终达到下降复杂度为O( nlg7 ) ~= O( n2.81 );
SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A,B)
n=A.rows
let C be anew n*n matrixif n==1c11=a11*b11else partition A, B and C as in equation(1)
C11=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B21)
C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B22)
C21=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B21)
C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B22) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B22)return C
## 快速傅里叶变换(FFT)
问题定义：
算法思想：
伪代码：
递归方程：
算法复杂度： T(n) = θ(n logn)
## 基于分治的排序
【归并排序】
归并排序是分治思想的典型应用，
划分策略：根据中间点将数组集合划分红两部分，不断递归
合并策略：比较a[i]和b[j]的大小，若a[i]≤b[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；不然将第二个有序表中的元素b[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循环下去，直到其中一个有序表取完，而后再将另外一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。
MergeSort(A,i,j)
Input: A[i,…,j]
Output:排序后的A[i,…,j]1. k ← (i+j)/2;2. MergeSort(A,i,k);3. MergeSort(A,k+1,j);4. l←i; h ← k+1; t=i; //设置指针
5. While l≤k & h
9. For v ←l To k Do10. B[t] ← A[v]; t ← t+1;11. IF h
12. For v ←h To j Do13. B[t] ← A[v]; t ← t+1;14. For v ← i To j Do //将归并后的数据复制到A中
15. A[v] ← B[v]；
复杂度分析： T(n)=2T(n/2)+O(n) T(n)=O(nlogn)
复习：归并排序具备以下特色：
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，这是基于比较的排序算法所能达到的最高境界；
归并排序是一种稳定的算法，这一点在某些场景下相当重要；
归并排序是最经常使用的外部排序方法(当待排序的记录放在外存上，内存装不下所有数据时，归并排序仍然适用，固然归并排序一样适用于内部排序...)；
但其也须要O(n)的辅助空间，而与之效率相同的快排和堆排分别须要O(logn)和O(1)的辅助空间，在同类算法中归并排序的空间复杂度略高
【快速排序】
划分策略：选取一个记录做为枢轴，通过一趟排序，将整段序列分为两个部分，其中一部分的值都小于枢轴，另外一部分都大于枢轴。
递归策略：而后继续对这两部分继续进行排序，从而使整个序列达到有序。
合并策略：无操做
QuickSort(A,i,j)
Input: A[i,…,j], x
Output: 排序后的A[i,…,j]1. temp←rand(i,j); //产生i，j之间的随机数
2. x ← A[temp]; //以肯定的策略选择x
3. k=partition(A,i,j,x); //用x完成划分
4. QuickSort(A,i,k); //递归求解子问题
5. QuickSort(A,k+1,j);
Partition(A,i,j,x)
1. low←i ; high ←j;
2. While( low< high ) Do
3. swap(A[low], A[high]);
4. While( A[low] < x ) Do
5. low←low+1;
6. While( A[low] < x ) Do
7. high←high-1;
8. return(high)
平均、最优的时间复杂度为O(nlogn)，最差的时间复杂度为O(n^2)
平均的空间复杂度为O(logn)，最差的空间复杂度为O(n)
排序的下界是：Ω(n log n)
## 中位数和顺序统计量
【最大值最小值】
算法MaxMin(A)
输入: 数组A[i,…,j]
输出:数组A[i,…,j]中的max和min1. If j-i+1 =1Then 输出A[i],A[i],算法结束2. If j-i+1 =2Then3. If A[i]
5. m1,M1 ←MaxMin(A[i:k]);6. m2,M2 ←MaxMin(A[k+1:j]);7. m ←min(m1,m2);8. M ←max(M1,M2);9. 输出m,M
时间复杂度分析：T(n) = 3n/2 - 2
因此时间复杂度为：O( ⌊3n/2⌋ )
【中位数的线性时间选择算法】
这种算法在最坏的状况下的时间复杂度为O(n)，其具体过程以下：
将输入数组划分为n/5组，每组有5个元素，且剩下的至多有一组的元素小于5个。
寻找这n/5个组中每一个组的中位数，能够将每组作一次排序，而后选取每组的第三个元素。
对于第2部找出的n/5个中位数递归的调用Select函数求出其中位数x.(约定偶数个中位数为其较小的中位数)
按照找到的中位数x将数组划分为两个部分，求得小于或者等于x的元素有q个
若是k==q则返回x,若k
Input: 数组A[1:n], 1≤i≤n
Output: A[1:n]中的第i-大的数1. for j←1 to n/5
2. InsertSort(A[(j-1)*5+1 : (j-1)*5+5]);3. swap(A[j], A[[(j-1)*5+3]);4. x ←Select(A[1: n/5], n/10);5. k ←partition(A[1:n], x);6. if k=i then returnx;7. else if k>i then retrun Select(A[1:k-1],i);8. else retrun Select(A[k+1:n],i-k);
递归方程式：T(n) ≤ T( ⌈n/5⌉ ) +T(7n/10+6) + O(n)
时间复杂度：T(n) = O(n)
## 最邻近点对
输入：Euclidean空间上的n个点的集合Q
输出：P1, P2∈Q, Dis(P1, P2)=Min{Dis(X, Y) | X, Y∈Q}
算法过程：
若是Q中仅包含一个点，则算法结束；
把Q中点分别按x-坐标值和y-坐标值排序.
划分：
计算Q中各点x-坐标的中位数m；
用垂线 L:x=m 把Q划分红两个大小相等的子集合QL 和QR， QL中点在L左边, QR 中点在L右边.
求解：
递归地在QL、QR中找出最接近点对:(p1, p2)∈QL , (q1, q2)∈QR
d=min{Dis(p1, p2), Dis(q1, q2)};
合并：
在临界区查找距离小于d的点对(pl, qr), pl∈QL,qr∈QR;
若是找到，则(pl, qr)是Q中最接近点对，不然(p1, p2)和(q1, q2) 中距离最小者为Q中最接近点对
时间复杂度：
Divide阶段须要O(n)时间
Conquer阶段须要2T(n/2)时间
Merge阶段须要O(n)时间
递归方程
T(n)= O(1) n = 2
T(n) = 2T(n/2) + O(n) n ≥ 3
用Master定理求解T(n)
T(n) = O(nlogn)
## 凸包