sift算法_单应性Homograph估计：从传统算法到深度学习

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本文作者：白裳

https://zhuanlan.zhihu.com/p/74597564

本文已由原作者授权，不得擅自二次转载

单应性原理被广泛应用于图像配准，全景拼接，机器人定位SLAM，AR增强现实等领域。这篇文章从基础图像坐标知识系为起点，讲解图像变换与坐标系的关系，介绍单应性矩阵计算方法，并分析深度学习在单应性方向的进展。

本文为入门级文章，希望能够帮助读者快速了解相关内容。

目录

一 图像变换与平面坐标系的关系

二 平面坐标系与齐次坐标系

三 单应性变换

四 深度学习在单应性方向的进展

单应性估计在图像拼接中的应用

一 图像变换与平面坐标系的关系

• 旋转：

将图形围绕原点 

 逆时针方向旋转 

 角，用解析式表示为：

旋转

写成矩阵乘法形式：

• 平移：

平移

但是现在遇到困难了，平移无法写成和上面旋转一样的矩阵乘法形式。所以引入齐次坐标 

 ，再写成矩阵形式：

其中 

 表示单位矩阵，而 

 表示平移向量。

那么就可以把把旋转和平移统一写在一个矩阵乘法公式中，即刚体变换：

而旋转矩阵 

 是正交矩阵( 

 )。

刚体变换：旋转+平移(正方形-正方形)

• 仿射变换

其中 

 可以是任意2x2矩阵(与 

 一定是正交矩阵不同)。

仿射变换(正方形-平行四边形)

可以看到，相比刚体变换(旋转和平移)，仿射变换除了改变目标位置，还改变目标的形状，但是会保持物体的“平直性”。

不同 

 和 

 矩阵对应的各种基本仿射变换：

• 投影变换(单应性变换)

投影变换(正方形-任意四边形)

简单说，投影变换彻底改变目标的形状。

总结一下：

1. 刚体变换：平移+旋转，只改变物体位置，不改变物体形状
2. 仿射变换：改变物体位置和形状，但是保持“平直性”
3. 投影变换：彻底改变物体位置和形状

注：上图“投影变换”应该是“任意四边形”

我们来看看完整投影变换矩阵各个参数的物理含义：

其中 

 代表仿射变换参数， 

 代表平移变换参数。

而 

 表示一种“变换后边缘交点“关系，如：

至于 

 则是一个与 

 相关的缩放因子。

一般情况下都会通过归一化使得 

 (原因见下文)。

二 平面坐标系与齐次坐标系

问题来了，齐次坐标到底是什么？

齐次坐标系 

 与常见的三维空间坐标系 

 不同，只有两个自由度：

而 

 (其中 

 )对应坐标 

 和 

 的缩放尺度。当 

 时：

特别的当 

 时，对应无穷远：

三 单应性变换

• 单应性是什么？

此处不经证明的给出：同一个 [无镜头畸变] 的相机从不同位置拍摄 [同一平面物体] 的图像之间存在单应性，可以用 [投影变换] 表示 。

注意：单应性成立是有条件的！
           

简单说就是：

其中 

 是Left view图片上的点， 

 是Right view图片上对应的点。

• 那么这个 

  

   单应性矩阵如何求解呢？

更一般的，每一组匹配点 

 有

由平面坐标与齐次坐标对应关系 

 ，上式可以表示为：

进一步变换为：

写成矩阵 

 形式：

也就是说一组匹配点 

 可以获得2组方程。

• 单应性矩阵8自由度

注意观察：单应性矩阵 

 与 

 其实完全一样(其中 

)，例如：

即点 

 无论经过 

 还是 

 映射，变化后都是 

 。

如果使 

 ，那么有:

所以单应性矩阵 

 虽然有9个未知数，但只有8个自由度。

在求 

 时一般添加约束 

 (也有用 

 约束)，所以还有 

 共8个未知数。由于一组匹配点 

 对应2组方程，那么只需要 

 组不共线的匹配点即可求解 

 的唯一解。

XIAOMI9拍摄，有镜头畸变

OpenCV已经提供了相关API，代码和变换结果如下。

可以看到：

1. 红框所在平面上内容基本对齐，但受到镜头畸变影响无法完全对齐；
2. 平面外背景物体不符合单应性原理，偏离很大，完全无法对齐。

• 传统方法估计单应性矩阵

一般传统方法估计单应性变换矩阵，需要经过以下4个步骤：

1. 提取每张图SIFT/SURF/FAST/ORB等特征点
2. 提取每个特征点对应的描述子
3. 通过匹配特征点描述子，找到两张图中匹配的特征点对(这里可能存在错误匹配)
4. 使用RANSAC算法剔除错误匹配
5. 求解方程组，计算Homograph单应性变换矩阵

示例代码如下：

#coding:utf-8
           

相关内容网上资料较多，这里不再重复造轮子。需要说明，一般情况计算出的匹配的特征点对 

 数量都有 

 ，此时需要解超定方程组(类似于求解线性回归)。

四 深度学习在单应性方向的进展

• HomographyNet(深度学习end2end估计单应性变换矩阵)

HomographyNet是发表在CVPR 2016的一种用深度学习计算单应性变换的网络，即输入两张图，直接输出单应性矩阵 

 。

在之前的分析中提到，只要有4组 

 匹配点即可计算 

 的唯一解。

相似的，只要有4组 

 也可以计算出 

 的唯一解：

其中 

 且 

 。

分析到这里，如果要计算 

 ，网络输出可以有以下2种情况：

1. Regression：网络直接输出 

   

    共8个数值

这样设置网络非常直观，使用L2损失训练，测试时直接输出8个float values，但是没有置信度confidence。即在使用网络时，无法知道当前输出单应性可靠程度。

2. Classification：网络输出 

 共8个值的量化值+confidence

这时将网络输出每个 

 和 

 量化成21个区间，用分类的方法判断落在哪一个区间。训练时使用Softmax损失。相比回归直接输出数值，量化必然会产生误差，但是能够输出分类置信度评判当前效果好坏，更便于实际应用。

另外HomographyNet训练时数据生成方式也非常有特色。

1. 首先在随机 

   

    位置获取正方形图像块Patch A
2. 然后对正方形4个点进行随机扰动，同时获得4组 

   

3. 再通过4组 

   

    计算 

   

4. 最后将图像通过 

   

    变换，在变换后图像 

   

    位置获取正方形图像块Patch B

那么图像块A和图像块B作为输入，4组 

 作为监督Label，进行训练

可以看到，在无法提取足够特征点的弱纹理区域，HomographyNet相比传统方法确实有一定的优势：

• Spatial Transformer Networks(直接对CNN中的卷积特征进行变换)

其实早在2015年，就已经有对CNN中的特征进行变换的STN结构。

假设有特征层 

 ，经过卷积变为 

 ，可以在他们之间插入STN结构。这样就可以直接学习到从特征 

 上的点 

 映射到特征 

 对应点 

 的仿射变换。

其中 

 对应STN中的仿射变换参数。STN直接在特征维度进行变换，且可以插入轻松任意两层卷积中。

• DELF: DEep Local Features(深度学习提取特征点与描述子)

之前提到传统方法使用SIFT和Surf等特征点估计单应性。显然单应性最终估计准确度严重依赖于特征点和描述子性能。Google在ICCV 2017提出使用使用深度学习提取特征点。

tensorflow/models/delfgithub.com

考虑到篇幅，这里不再展开DELF，请有兴趣的读者自行了解相关内容。

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