86相似标准形07——若尔当(Jordan)标准形

文章目录

• • 参考

1. 80相似标准形01——lambda矩阵
2. 81相似标准形02——初等变换、初等矩阵、相抵 (等价)、相抵标准形
3. 82相似标准形03——不变因子、行列式因子、相抵标准形的唯一性、用求行列式因子法求标准形
4. 83相似标准形04——相似与λ-矩阵的相抵
5. 84相似标准形05——有理标准形的不变因子、矩阵的有理标准形
6. 85相似标准形06——初等因子、初等因子与不变因子的求法
7. 86相似标准形07——若尔当(Jordan)标准形
8. 87相似标准形08——Jordan标准形
9. 88相似标准形09——JJordan-Chevalley分解、幂零矩阵与幂零变换、幂零矩阵的判别、中国剩余定理、可换线性变换的性质
10. 89相似标准形10——J循环不变子空间

我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.

不难算出若尔当块

J 0 = ( λ 0 0 ⋯ 0 0 1 λ 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 λ 0 ) n × n J_{0}=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda_{0} \end{array}\right)_{n \times n} J0​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ0​10⋮0​0λ0​1⋮0​⋯⋯⋯⋯​000⋮1​000⋮λ0​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​n×n​

的初等因子是 ( λ − λ 0 ) n . \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} . (λ−λ0​)n.

事实上，考虑它的特征矩阵

λ E − J 0 = ( λ − λ 0 0 ⋯ 0 0 − 1 λ − λ 0 ⋯ 0 0 0 − 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ − 1 λ − λ 0 ) \lambda E-J_{0}=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda-\lambda_{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-\lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda-\lambda_{0} \end{array}\right) λE−J0​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ−λ0​−10⋮0​0λ−λ0​−1⋮0​⋯⋯⋯⋯​000⋮−1​000⋮λ−λ0​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

显然 ∣ λ E − J 0 ∣ = ( λ − λ 0 ) n \left|\lambda E-J_{0}\right|=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} ∣λE−J0​∣=(λ−λ0​)n, 这就是 λ E − J 0 \lambda E-J_{0} λE−J0​ 的 n n n 级行列式因子.由于 λ E − J 0 \lambda E-J_{0} λE−J0​ 有一个 n − 1 n-1 n−1 级子式是

∣ − 1 λ − λ 0 ⋯ 0 0 0 − 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ − 1 λ − λ 0 0 0 ⋯ 0 − 1 ∣ = ( − 1 ) n − 1 \left|\begin{array}{ccccc} -1 & \lambda-\lambda_{0} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda-\lambda_{0} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 \end{array}\right|=(-1)^{n-1} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​−10⋮00​λ−λ0​−1⋮00​⋯⋯⋯⋯​00⋮−10​00⋮λ−λ0​−1​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=(−1)n−1

所以它的 n − 1 n-1 n−1 级行列式因子是 1 , 从而它以下各级的行列式因子全是 1. 1 . 1. 因此它的不变因子

d 1 ( λ ) = ⋯ = d n − 1 ( λ ) = 1 , d n ( λ ) = ( λ − λ 0 ) n d_{1}(\lambda)=\cdots=d_{n-1}(\lambda)=1, d_{n}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} d1​(λ)=⋯=dn−1​(λ)=1,dn​(λ)=(λ−λ0​)n

由此即得， λ E − J 0 \lambda E-J_{0} λE−J0​ 的初等因子是 ( λ − λ 0 ) n \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} (λ−λ0​)n.

再利用 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲5 的定理 9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出.设

J = ( J 1 J 2 ⋱ J s ) J=\left(\begin{array}{llll} J_{1} & & & \\ & J_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{s} \end{array}\right) J=⎝⎜⎜⎛​J1​​J2​​⋱​Js​​⎠⎟⎟⎞​

是一个若尔当形矩阵，其中

J i = ( λ i 0 ⋯ 0 0 1 λ i ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 λ i ) k i × k i ( i = 1 , 2 , ⋯   , s ) . J_{i}=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{i} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda_{i} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda_{i} \end{array}\right)_{k_{i} \times k_{i}}(i=1,2, \cdots, s) . Ji​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λi​10⋮0​0λi​1⋮0​⋯⋯⋯⋯​000⋮1​000⋮λi​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​ki​×ki​​(i=1,2,⋯,s).

既然 J i J_{i} Ji​ 的初等因子是 ( λ − λ i ) k i ( i = 1 , 2 , ⋯   , s ) \left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{k_{i}}(i=1,2, \cdots, s) (λ−λi​)ki​(i=1,2,⋯,s), 所以 λ E − J i \lambda E-J_{i} λE−Ji​ 与

( 1 1 ⋱ ( λ − λ i ) k i ) \left(\begin{array}{llll} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{k_{i}} \end{array}\right) ⎝⎜⎜⎛​1​1​⋱​(λ−λi​)ki​​⎠⎟⎟⎞​

等价.于是

λ E − J = ( λ E k 1 − J 1 λ E k 2 − J 2 ⋱ λ E k s − J s ) \lambda E-J=\left(\begin{array}{cccc} \lambda E_{k_{1}} -J_{1}& & & & \\ & \lambda E_{k_{2}}-J_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda E_{k_{s}}-J_{s} \end{array}\right) λE−J=⎝⎜⎜⎛​λEk1​​−J1​​λEk2​​−J2​​⋱​λEks​​−Js​​⎠⎟⎟⎞​

与

等价.因此， J J J 的全部初等因子是:

( λ − λ 1 ) k 1 , ( λ − λ 2 ) k 2 , ⋯   , ( λ − λ s ) k s \left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{1}},\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{2}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{k_{s}} (λ−λ1​)k1​,(λ−λ2​)k2​,⋯,(λ−λs​)ks​

这就是说, 每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数 n n n 与主对角线上元素 λ 0 \lambda_{0} λ0​ 所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子 ( λ − λ 0 ) n \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n} (λ−λ0​)n 中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.

定 理 10 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 10} }} 定理10​ 每个 n n n 级的复数矩阵 A A A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 A A A 唯一决定的, 它称为 A A A 的若尔当标准形.

例 1 \Large{\color{violet}{例1}} 例1 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲5 的例中，12 级矩阵的若尔当标准形就是

例 2 \Large{\color{violet}{例2}} 例2 求矩阵

A = ( − 1 − 2 6 − 1 0 3 − 1 − 1 4 ) A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \end{array}\right) A=⎝⎛​−1−1−1​−20−1​634​⎠⎞​

的若尔当标准形.

解 :首先求 A A A 的初等因子,由

λ E − A = ( λ + 1 2 − 6 1 λ − 3 1 1 λ − 4 ) → ( 0 − λ + 1 − λ 2 + 3 λ − 2 0 λ − 1 − λ + 1 1 1 λ − 4 ) , → ( 1 0 0 0 λ − 1 − λ + 1 0 − λ + 1 − λ 2 + 3 λ − 2 ) → ( 1 0 0 0 λ − 1 − λ + 1 0 0 − λ 2 + 2 λ − 1 ) → ( 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 ( λ − 1 ) 2 ) \begin{aligned} \lambda E-A &=\left(\begin{array}{ccc} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\lambda+1 & -\lambda^{2}+3 \lambda-2 \\ 0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{array}\right), \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\ 0 & -\lambda+1 & -\lambda^{2}+3 \lambda-2 \end{array}\right) \\ &\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & -\lambda+1 \\ 0 & 0 & -\lambda^{2}+2 \lambda-1 \end{array}\right) \\ &\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda-1)^{2} \end{array}\right) \end{aligned} λE−A​=⎝⎛​λ+111​2λ1​−6−3λ−4​⎠⎞​→⎝⎛​001​−λ+1λ−11​−λ2+3λ−2−λ+1λ−4​⎠⎞​,→⎝⎛​100​0λ−1−λ+1​0−λ+1−λ2+3λ−2​⎠⎞​→⎝⎛​100​0λ−10​0−λ+1−λ2+2λ−1​⎠⎞​→⎝⎛​100​0λ−10​00(λ−1)2​⎠⎞​​

因此， A A A 的初等因子为 λ − 1 , ( λ − 1 ) 2 \lambda-1,(\lambda-1)^{2} λ−1,(λ−1)2,故 A A A 的若尔当标准形为 ( 1 0 0 0 1 0 0 1 1 ) \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) ⎝⎛​100​011​001​⎠⎞​.

定理 10 换成线性变换的语言来说就是:

定 理 11 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 11} }} 定理11​ 设 A \mathbf{A} A 是复数域上 n n n 维线性空间 V V V 的线性变换，在 V V V 中必定存在一组基，使 A \mathbf{A} A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 A \mathbf{A} A 唯一决定的.

应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得

定 理 12 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 12} }} 定理12​ 复数矩阵 A A A 与对角矩阵相似的充要条件是 A A A 的初等因子全为一次的.

根据若尔当形的作法, 可以看出矩阵 A A A 的最小多项式就是 A A A 的最后一个不变因子.因此有

定 理 13 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 13} }} 定理13​ 复数矩阵 A A A 与对角矩阵相似的充要条件是 A A A 的不变因子都没有重根.

虽然我们证明了每个复数矩阵 A A A 都与一个若尔当形矩阵相似, 并且有了具体求矩阵 A A A 的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵 T T T ，使 T − 1 A T T^{-1} A T T−1AT 成若尔当标准形的问题. T T T 的确定牵涉到比较复杂的计算问题.

最后指出，如果规定上三角形矩阵

( λ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 λ 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ λ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 λ 0 ) \left(\begin{array}{cccccc} \lambda_{0} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{0} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{0} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{0} \end{array}\right) ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ0​0⋮00​1λ0​⋮00​01⋮00​⋯⋯⋯⋯​00⋮λ0​0​00⋮1λ0​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理 10，定理 11 的结论也成立.

参考

高等代数 电子科技大学

高等代数_安阳师范学院

《高等代数》（第五版）