- 一些错误观念的澄清，比如数学意义上的
点积
叉积
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- 内积的物理意义
- 一种向量到标量的映射
- 两向量的夹角的计算
- 两向量是否正交的判断
- 两向量的相似性（similarity）的度量
- 叉积的意义
- 如何使用C++语言（STL容器，运算符重载）：
- 表示向量
- 计算内积
- 计算叉积
- 计算模长
- 计算两向量的夹角
- 计算点到直线的距离
prerequisites
内积（inner product）
又叫点乘，点积（dot product），数量积，顾名思义得到的是一个标量（scalar）。
- 代数定义
向量 x=[x1,x2,…,xn] 和 y=[y1,y2,…,yn] 的内积定义为：
x⋅y=∑inxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn
也即：内积等于向量的对应位相乘再相加，如果从函数的观点来看的话，即是两个矢量相互作用得到一个标量。
内积对相互作用的两个向量 x,y 的长度也即各自所含元素的个数是没有限制的。这点不同于向量叉积，叉积所要的向量长度最高为3.
- 几何定义
欧式空间中，向量是一个同时拥有长度和方向的几何对象。向量 x 的长度记为∥x∥，两个向量的内积定义为：
x⋅y=∥x∥∥y∥cosθ
θ 标识着两向量的夹角。可见当向量正交时， θ=90∘ ， x⋅y=0 。
当向量 y 被归一化为长度为1的单位向量时，x⋅y=∥x∥cosθ，我们来考察 x,y 均为二维的情形：
如上图所示，此时二者的内积表示的恰是其中一个向另外一个的投影，投影长度越小，说明二者的夹角越大，反之亦然。当两向量同时归一化为1时，此时内积的定义为： x⋅y=cosθ ，内积越大，说明两者夹角越小，也间接地说明两者也就越相似，故在许多机器学习的算法，常用余弦相似性来度量两特征向量的逼近程度。内积既然能够表征两向量的夹角，自然判断两向量是否正交（值为0）就更不在话下了。
叉积
又叫叉乘（cross product）或者外积，它的计算结果是一个向量而非标量。叉积所在的向量与参与运算的两个向量都正交，也即正交于原来的两个向两边所决定的平面，也即两向量所决定的平面的法向量可通过计算叉积的方式得以确定。当参与运算的两向量是平行的两个向量时，得到的叉积为0，也即可通过计算叉积的方式判断两向量是否平行。
代数定义
- 二维时
x×y=x1y2−x2y1
- 三维时
根据如图的计算方法可得：
u×v====∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣(u2v3i+u3v1j+u1v2k)−(u3v2i+u1v3j+u2v1k)(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)
几何定义
x×y=∥x∥∥y∥sinθn⃗
n⃗ 表示叉积方向上的单位向量。
中学知识告诉我们三角形的面积计算公式为：
S=∥x∥∥y∥sinθ2=∥z∥h2
其中 θ 表示的是 x,y 之间的夹角，由以上两个公式我们可得到
三角形的高
或者
点到其所对的边的距离
，也即点到直线的距离，的计算公式：
h=∥x×y∥/∥z∥
C++ STL实现
- 向量的定义：
typedef vector<double> Vec;
- 矩阵减法
Vec operator-(const Vec& x, const Vec& y)
{
assert(x.size() == y.size());
// #include <cassert>
Vec tmp;
for(size_t i = ; i < x.size(); ++i)
tmp.push_back(x[i] - y[i]);
return tmp; // 返回局部变量的拷贝
}
- 内积和叉积的定义
为了形式的简单，我们在C++中以
*
表示内积，以
^
表示叉积，分别对二者进行运算符重载：
double operator*(const Vec& x, const Vec& y)
{
assert(x.size() == y.size()); // #include <cassert>
double sum = ;
for (size_t i = ; i < x.size(); ++i)
sum += x[i]*y[i];
return sum;
}
// 三维的情况
Vec operator^(const Vec& x, const Vec& y)
{
assert(x.size() == y.size() && x.size() == );
return Vec{x[]*y[]-x[]*y[],
x[]*y[]-x[]*y[],
x[]*y[]-x[]*y[]};
// uniform initialization, C++11新特性
}
// 二维就姑且返回其模长吧
double twoDCrossProd(const Vec& x, const Vec& y)
{
return x[]*y[]-x[]*y[];
}
- 模长或者范数的计算
double norm(const Vec& x)
{
double val = ;
for(auto elem: x)
val += elem*elem;
return sqrt(val);
// #include <cmath>
}
- 向量夹角的计算
#define PI 3.14159265358979323846
// 弧长向弧度的转换
double toDegree(double val)
{
return val*/PI;
}
double angle(const Vec& x, const Vec& y)
{
return toDegree(acos(x*y/norm(x)/norm(y)));
// x*y, 计算二者的内积
}
- 点到直线的距离
// x0, x1, x2 分别表示三角形的三个顶点的坐标
// 这里计算的是点x0到x1和x2构成的直线的距离
double distance(const Vec& x0, const Vec& x1, const Vec& x2)
{
return twoDCrossProd(x1-x0, x2-x0)/norm(x1-x2);
}
客户端程序：
int main(int, char**)
{
Vec x{, , }, y{, , };
Vec z = x^y; // 计算叉乘
copy(z.begin(), z.end(), ostream_iterator<double>(cout, " "));
cout << endl;
// 0 0 1
Vec alpha{, }, beta{, };
cout << angle(alpha, beta) << endl;
// 45
Vec x0{, }, x1{, }, x2{, };
cout << distance(x0, x1, x2) << endl;
// 1/sqrt(2)
return ;
}