五次B样条曲线

MATLAB 的实现

B样条曲线有节点向量（knot vector）和控制顶点（control points）组成，在给出待插值点，先根据点的特征确定节点向量，再根据插值点以及边界条件列举等式方程从而确定控制顶点。MATLAB 中B样条插值实现的函数是spapi()

spline = spapi(knots,x,y) returns the spline f (if any) of order

​ k = length(knots) - length(x)

with knot sequence knots for which

​ f(x(j)) = y(:,j), all j.

If some of the entries of x are the same, then:

​ D m ( j ) f ( x ( j ) ) = y ( : , j ) D^{m(j)} f(x(j))=y(:, j) Dm(j)f(x(j))=y(:,j)

注意：此处 x ( j ) x(j) x(j)有m重，目的是为了添加约束，同理，我们可以添加边界条件。

MATLAB曲线官方实例：

spapi([0 0 0 0 1 2 2 2 2],[0 1 1 1 2],[2 0 1 2 -1])
           

其手动设置了节点向量，根据节点向量的节点的重复度判断是三次B样条插值，节点值为0，1，2，且在节点值1处设置其速度和加速度约束条件（注：三次B样条插值需要补充两个等式方程，否则方程欠定，解不唯一）。约束条件为：

f ( 0 + ) = 2 , f ( 1 ) = 0 , Df ⁡ ( 1 ) = 1 , D 2 f ( 1 ) = 2 , f ( 2 − ) = − 1 f(0+)=2, f(1)=0, \operatorname{Df}(1)=1, D^{2} f(1)=2, f(2-)=-1 f(0+)=2,f(1)=0,Df(1)=1,D2f(1)=2,f(2−)=−1

当然可以使用

spapi(k,x,y)
           

令aptknt function自动确定节点向量，其中k为B样条的order(注：order = degree + 1).

五次B样条插值实例

采用边界速度和加速度均为零边界条件，即多添加了四个等式约束。待插值点为：

P = [90 0 50; 80 25 60;60 45 75;-30 80 80; -60 120 100;40 50 120; 70 20 130;90 -30 150]';
           

节点向量采用：

uniqueknot = [0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7];  % knot vector
           

全部代码为：

clc,clear
P = [90 0 50; 80 25 60;60 45 75;-30 80 80; -60 120 100;40 50 120; 70 20 130;90 -30 150]';

uniqueknot = [0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7];  % knot vector

% interpolation points and boundary conditions
x = [0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7];     % Data sites 
y = [P(:,1) zeros(3,1) zeros(3,1) P(:,2:end) zeros(3,1) zeros(3,1)]; % Data values to fit
f = spapi(uniqueknot, x, y);       % B-spline curve

df = fnder(f,1); ddf = fnder(f,2);  % derivatives 
v0 = fnval(df,0)
a0 = fnval(ddf,0)